算筹记数——古人用小棍子怎么表示数字
一纵十横，百立千僵——用竹棍摆出的十进制，比西方早了一千年。
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孙
孙子算经
Sun Zi Suan Jing
中国古代数学的入门经典。三卷六十余题，从算筹记数到鸡兔同笼，从物不知数到韩信点兵，既是古代算术的百科全书，也是后世数论的源头。一本书读懂中国古人怎么数数、怎么计算、怎么思考。
80 题 · 41 讲已更新 · 还有 39 讲即将上线
讲义
度量衡——从蚕吐丝到万里江山
从蚕丝到万里江山，看古人如何用一套严谨的度量衡制度，把微观世界和宏观世界统一起来。
大数之法——从亿到载，万进制的极限
万万曰亿，万万亿曰兆……一路推到'载'——中国古代的万进制大数系统，重新定义你对'大'的认知。
筹算乘法——九九八十一，自相乘
八十一自相乘，六千五百六十一——古代人没有乘法竖式，他们用算筹和口诀，一步一步算出来。这背后是一套完整的位值制思想。
筹算除法——六千五百六十一除以九
六百二十九——用算筹从高位到低位逐步试商，两千年前的竖式除法长这样。
方圆之率——周三径一，方五邪七
古人用最朴素的近似值——3、4、，建立了一套圆的面积计算体系，比阿基米德更实用，比祖冲之早三百年。
大数之法——万万曰亿，万万兆曰京
从'万万'到'万万载'，孙子算经用两个万字节的乘方，构建了一套能表达宇宙级数字的大数体系。
粟米换算——三之五而一的古代粮食算法
古人用一套简洁的比率关系，把粟、粝米、粝饭、凿米、饭之间的换算关系写得清清楚楚——本质是比例问题。
约分——古人如何把分数"化简"到最简
孙子算经卷中从一道约分题开始，用'等数'消去公因子——比欧几里得早几百年的最大公约数算法。
分数加法——三分之一加五分之二，古人怎么算？
孙子算经卷中的第二道题，教的是分数加法——\"母互乘子\"，也就是我们今天说的\"交叉相乘再相加\"。这是中国古代分数运算最核心的算法。
分数减法——九分之八减去五分之一，古人怎么算？
学会了分数加法，就该学减法了。孙子算经卷中第三题，把'母互乘子'的算法从加法迁移到减法——同样的通分逻辑，不同的操作方向。
减多益少——三个分数怎么拉平？
三分之一、三分之二、四分之三，三个分数各不相等，怎么取长补短让它们变得一样？孙子算经写出了人类最早的"调配平均数"算法——而且在约分上留了个精巧的伏笔。
粟米之法二：粟换粺米——古人怎么算粮食兑换？
《孙子算经》卷中的粟米兑换问题，以粟二斗一升换粺米，完整展现"今有术"的运算逻辑。一道题读懂中国古人的比例算法与分数处理。
屋基砌砖：归一问题——从面积到总数的经典算法
《孙子算经》卷中以屋基砌砖为题，完整呈现中国古代归一术的运算逻辑。一丈十尺的换算、面积与总量的层层推演，藏着古人解决实际工程问题的数学智慧。
禽兽同笼：一道算错了的古题——学会验证，哪怕它来自经典
《孙子算经》卷下这道禽兽同笼题，照术文算出八兽七禽，可一代入题面却对不上。千年前的传本出了什么问题？这一讲讲的是比算法更重要的东西：答案必须经得起检验。
术名：卷下·第27题——方程术的实战范本
一道看似简单的"持钱"问题，却完整呈现了《九章算术》方程术的标准程序。从列出线性方程组到算筹消元，每一步都有章可循，堪称古代线性方程组求解的"操作手册"。
卷下·第28题：百鹿入城——盈不足术的经典应用
一百只鹿进城，每家取一鹿取不完，三家共一鹿恰好分完。古人不用方程，用盈不足术两步假设锁定答案七十五家。
粟一斗换几升米：出米率六十的古老答案
今有粟一斗，问为粝米几何？答曰六升。这是《孙子算经》里最简单的一道算术题，却开启了整部书的「粟米之法」——粟率五十、粝米率三十，一斗粟舂出来六升粗米。六十这个数字，是中国古代粮食加工的第一条国家标准。为什么糙米只有六成？因为谷壳和糠要占四成。
糳米与御米：一次约分省掉一半力气
今有粟四斗五升，问为糳米几何？答曰二斗一升五分升之三。这道题的数字比上一讲大，术文也多出一个动作——「以二约」。把率先除以二，乘出来的数小一半，除起来也省一半力气。两千年前的算家，已经在用约分让计算变简单了。
御米与合勺：古代小数藏在最小单位里
今有粟七斗九升，问为御米几何？答曰三斗三升一合八勺。御米率二十一，出米率只有四成二——全卷最低。而答案里的「合」与「勺」是比升更小的两级单位，1 合 = 0.1 升，1 勺 = 0.01 升。一个 33.18 升，古人用四个单位记完；今天我们用一个小数点。
圆窖受粟——周三径一怎样变成一次除法
圆窖下周二百八十六尺，深三丈六尺，问受粟几何？答曰一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。周长平方除以十二就是圆面积——这个「十二」从周三径一里来；除以斛法则把体积变成斛。两道除法之间，隔着中国古代对圆的理解。
方窖受粟——一道把带分数考到极致的长方体题
方窖广四丈六尺、长五丈四尺、深三丈五尺，问受粟几何？答曰五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二。乘法只有三步，难全在最后：86940 除以 1.62 得 53666 又三分之二斛，再把这个分数拆成六斗六又三分之二升——古算对分数的执着，在这道题里露了底。
圆窖受粟（另题）——一道数字凑得刚刚好的圆仓题
圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？答曰二千七百斛。这道题是第 18 讲的姊妹篇，数字更小，而且答案正好凑成整数——周平方 2916，乘深得 52488，除以 12 得 4374，再用斛法一尺六寸二分一除，恰好 2700。古人选数选得恰到好处。
圆田求积——半周乘径半，古人这样算圆
圆田周三百步、径一百步，问得田几何？答曰三十一亩，奇六十步。术文只有两句：半周得一百五十步，半径得五十步，相乘即得。这是中国古代最简洁的圆面积公式——不用圆周率，不用平方，一次乘法出结果。今天课本上的 πr²，是从它走过来的。
方田桑生中央——古人怎么用 7 和 5 近似根号二
方田正中一棵桑树，从角到桑一百四十七步，问田几何？答曰一顷八十三亩，奇一百八十步。术文里藏着一步奇妙的手筋：147 乘 5 除 7，直接得到田半边长 105 步。这个 5 和 7，就是中国古代最早的根号二近似——一本题测丈量的书，藏着勾股定理的家底。
方木作枕——为什么一根方木正好出八枚
木方三尺、高三尺，欲方五寸作枕一枚，问得几何？答曰二百一十六枚。术文三步：方三尺相乘得九尺，乘高得二十七尺，再「以一尺木八枕乘之」——一步就出答案。这个「八」不是估的：五寸枕的体积恰好是一立方尺的八分之一，数字选得恰到好处。
堤坝求方——梯形截面的第一课
堤下广五丈、上广三丈、高二丈、长六十尺，欲以一千尺作一方，问计几何？答曰四十八方。术文只说「并之得八丈，半之得四丈」——两句话就把梯形面积算完了。上广加下广再折半，这是中国古代第一次把「梯形法则」写进算书，今天积分的雏形就在这里。
沟渠求方——当土方计算遇上立方换算
沟渠广十丈、深五丈、长二十丈，以千尺作一方，问得几何？答案是一千段。这道题看似只是长×宽×深，难点全在第二步：一立方丈等于一千立方尺，体积单位的换算是长度单位换算的立方。今天每项工程预算里的土石方计算，走的仍是同一条思路。
有积求方——中国古代开方的第一课
今有积二十三万四千五百六十七步，问为方几何？答曰四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。这道题开启了中国古代最重要的算法之一——开方。术文里「借一算为下法，步之超一位至百而止」十四个字，写的是最古老的试商定位法；而答案末尾那个九百六十八分之三百一十一，是古人处理「开不尽」的方式。
有积求周——从圆面积倒推周长
今有积三万五千步，问为圆几何？答曰六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。这道题是第26讲的回转：面积已知，反求圆的周长。解法只有一句关键的「以十二乘之」——因为周三径一，周长平方除以十二正是圆面积，反过来就要乘十二。一步乘回去，开方就得答案。
邱田求积——半周乘半径的又一次检阅
邱田周六百三十九步、径三百八十步，问为田几何？答曰二顷五十二亩，奇二百二十五步。算法与第21讲一模一样：半周乘半径，除以亩法。但这次周与径都不是整数便利数——半周 319.5 步带半个，除亩法时拖出个十五分之四。把分数从个位一路带到末位，才是本题的真考验。
筑城计功——古代土建工程怎么排工期
筑城上广二丈、下广五丈四尺、高三丈八尺、长五千五百五十尺，秋程人功三百尺，问须功几何？答曰二万六千一十一功。这是《孙子算经》里最像现代工程预算的一道题：算体积、定定额、除一下就得人数。两千年前的工部长官，用的就是今天造价工程师的算法骨架。
穿渠计功——当面积单位混进长度单位
穿渠长二十九里一百四步，上广一丈二尺六寸，下广八尺，深一丈八尺，秋程人功三百尺，问须功几何？答曰三万二千六百四十五功。这道题藏着全书最容易绊人的单位陷阱：术文里的「一百八十五尺四寸」听起来是长度，其实是面积——平方尺里的「寸」，跟尺子上的寸不是一回事。
钱分三等——一道被古人拆成四次的配分题
钱六千九百三十，令二百一十六人作九分之：八十一人得二分，七十二人得三分，六十三人得四分。问三种各得几何？答曰二分人得钱二十二，三分人得三十三，四分人得四十四。术文绕了一大圈——先按人数乘率、求和，再反除回来。今天一行加权平均能解决的事，古人拆了四次乘法。
五等诸侯分橘——等差数列藏在爵位里
五等诸侯共分橘子六十颗，人别加三颗，问五人各得几何？答曰公十八、侯十五、伯十二、子九、男六。这道题的答案恰好是一条等差数列：18、15、12、9、6，公差 -3。而这 -3，正是题目里「人别加三颗」那个三。爵位高低与分配等差，被一道题说得明明白白。
繁分数的四则运算
繁分数不仅能化简，还能加减乘除。孙子把前面学到的所有分数运算法则，统一应用在繁分数上。
三人持钱——一场对话解出的三元方程组
甲乙丙三人持钱。甲说：把你们俩的一半给我，我就有九十。乙说：把你们俩的一半给我，我就有七十。丙说：把你们俩的一半给我，我就有五十六。问三人原各持多少？答曰甲七十二、乙三十二、丙四。这是《孙子算经》里最接近现代方程的一道题——三句话列出三个方程，解一个三元一次方程组。
女子善织——中国算书里最早的等比数列
女子善织，日自倍，五日织通五尺，问日织几何？答曰初日一寸三十分之一十九，次日三寸三十一分之七……这道题的五日产量构成一条公比为 2 的等比数列：1.6寸、3.2寸、6.5寸、12.9寸、25.8寸。术文只说了九个字——「列衰副并，得三十一为法」——三十一正是 1+2+4+8+16。两千年前，中国人已经在用等比求和。
盈不足术——一项西传的中国算法
盗库失绢，草中分绢：人得六匹盈六匹，人得七匹不足七匹。问人、绢各几何？答曰贼十三人，绢八十四匹。这道题用的「盈不足术」，是中算最伟大的输出之一——它把一个试错过程写成四则运算，九百年后经阿拉伯传遍欧洲，被称为「中国算术的平方」。
几丁科一兵：全卷最朴素的一笔除法
一千五百万丁，出兵四十万，问几丁科一兵？答曰三十七丁五分。术文只有九个字——实如法，即得。这一讲讲的是一次大数除法，也是《孙子算经》里最短的术文。
平地聚粟：一个数出现在术文里四次
下周三丈六尺，高四尺五寸，问粟几何？答曰一百斛。术文一路乘下来，中间那个「以三十六除之」最扎眼——周长自乘之后凭什么要先除以三十六？这一讲讲的就是它。