有积求方——中国古代开方的第一课

原典

今有积，二十三万四千五百六十七步。问：为方几何？

答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。

术曰：置积二十三万四千五百六十七步，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置四百于实之上，副置四万于实之下。下法之上，名为方法，命上商四百除实，除讫，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商八十以次前商，副置八百于方法之下。下法之上，名为廉法，方廉各命上商八十以除实，除讫，倍廉法，上与方法俱再退。下法之上，复置上商四，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法，方廉隅各命上商四以除实，除讫。其逅有不尽者，以法命之。

白话翻译

有一块正方形田地，面积是二十三万四千五百六十七平方步。问它的边长是多少？

答案是：四百八十四步，再加九百六十八分之三百一十一步。

术文给的算法是：把面积作为「实」（被开方数），借一枚算筹作为「下法」，让它每超一位就退一级，退到「百」位为止。然后上商「四百」——在实的上方写四百，在实的下方写四万（四倍的百位）。此时下法上方那枚算筹叫「方法」，用它配上商四百去减实。减完，把方法翻倍，方法退一位、下法退两位；再上商「八十」，在方法下方写八百，此时下法上方叫「廉法」；方法与廉法各配八十去减实，减完，廉法翻倍，方法与廉法再退。最后下法上方上商「四」，方法下方写四，此时下法上方叫「隅法」；方、廉、隅三法各配四去减实。减完，如果还有剩余，就用法把它表示成一个分数。

这段话极难读，因为它描述的是筹算的算筹摆放，而不是纸笔算式。 但它的数学内核非常清晰，而且我们今天还在用。

示意图

古人的算法

先看结果对不对。

而实是 234567，差

所以边长比 484 多出一小块，答案写成 $484\dfrac{311}{968}$。

为什么不写成 $484.3$？ 因为古人不会用小数，他们用分数。而分母 968 不是随手取的，它有明确来历：

即边长近似值的二倍。这正是线性近似：若边长增加 $\Delta$，面积增加约 $2a \cdot \Delta$，所以

古人在没有微分学的时代，用「倍方法」这一步，准确抓住了面积变化的线性主项。 这就是术文为什么要「倍方法」——翻倍后的方法，正是 $2a$。

用今天的知识看，这个近似之所以好用，是因为当余数（311）远小于 $a^2$（234256）时，二次项 $\Delta^2$ 可以忽略。实际验算：

误差只有 0.1，相对误差不到十万分之一。

现代数学视角

什么是开方：给定面积 $A$，求边长 $a$ 使 $a^2 = A$。今天写成 $a = \sqrt{A}$。本题 $\sqrt{234567} \approx 484.32$，与古法 $484 + \dfrac{311}{968} \approx 484.32$ 一致。

术文的「三层试商」：把待求数按位拆分，先定百位、再定十位、最后是个位，每一步都用面积减去已确定部分的贡献。这正是今天手算开平方的逐位试商法，也是计算机二分法、牛顿法求平方根之前，人类用了一千五百年的标准算法。

「借一算为下法，步之超一位至百而止」：这一步是定位。被开方数是六位数，它的平方根应是三位数——古人用一根算筹从个位起，每跨过两位退一级，退到百位，就知道最高位是百位。这个定位技巧避免了盲目试商。《九章算术·少广》chapter 专门讲开方，本题是它的标准范例。

误差分析的雏形：答案末尾的 $\dfrac{311}{968}$ 说明古人刻意保留了「开不尽」的部分，而不是取整了事。他们甚至通过「倍方法」得到了正确的误差阶——这不是偶然，是长期算学实践总结出来的经验法则。可以说，这是中国古代对「近似计算精度」最早的自觉处理之一。

高中课本关联

平方根与算术平方根：$\sqrt{A}$ 的定义与近似计算。本题展示了如何手算到任意精度——把分数分母继续放大，就能得到更准的结果。

函数与迭代：$f(x) = x^2$ 的反函数。已知函数值求自变量，是反函数思想的朴素体现。今天学生学「已知 $f(x) = x^2$，$f(a) = 234567$，求 $a$」，与本题是同一件事。

线性近似与微分：$\Delta f \approx f'(a)\Delta$。本题的「倍方法」就是 $f'(a) = 2a$。把这条线索从《九章算术》讲到导数，「以直代曲」的思想脉络就完整了。

估计与验算：$484^2 = 234256$、$485^2 = 235225$，所以答案在 484 与 485 之间。这种「夹逼」思路今天依然常用——估根号、估增长率、估误差范围。

思考与拓展

1. 算一算：验算 $484^2 = 234256$，并算余数 $234567 - 234256 = 311$。再用 $\dfrac{311}{2 \times 484}$ 复现答案的分母 968。

2. 夹逼：只用 $484^2$ 与 $485^2$ 两个数，说明 $\sqrt{234567}$ 落在 484 与 485 之间。它离哪一端更近？

3. 提高精度：古人只取了一次线性近似。若再做一次（用 $\left(a + \dfrac{311}{968}\right)^2$ 修正），误差能降到多少？这近似牛顿迭代法。

4. 定位练习：若积是 23 456 700（大十倍），边长约多少？若积是 2345.67（小百倍），边长约多少？总结「面积每变 100 倍，边长变几倍」。

5. 反向出题：自己编一道「有积求方」：取一个三位数如 517，平方得 267289，把 267289 作为积，请同学用夹逼法估算边长，再用线性近似给出分数形式的精确值。

一句话总结

把一根算筹从个位退到百位，再试商四百、八十、四——两千年前的分层试商，与今天手算平方根用的是同一套算法。