第10讲 分数加法——三分之一加五分之二，古人怎么算？

原典

今有三分之一、五分之二。問：合之二得幾何？

答曰：一十五分之一十一。

術曰：置三分、五分在右方，之一、之二在左方。母互乘子，五分之二得六，三分之一得五。并之，得一十一，為實。右方二母相乘，得一十五，為法。不滿法，以法命之，即得。

——《孙子算经·卷中》

白话翻译

有三分之一和五分之二，把它们加起来是多少？答案是 $\frac{11}{15}$。

方法：把分母 3 和 5 放在右边，分子 1 和 2 放在左边。然后"母互乘子"——用对方的分母乘以自己的分子：$\frac{2}{5}$ 变成 $2 \times 3 = 6$，$\frac{1}{3}$ 变成 $1 \times 5 = 5$。把这两个结果加起来得到 11，作为被除数（实）。再把两个分母相乘 $3 \times 5 = 15$，作为除数（法）。因为 11 小于 15，所以答案是 $\frac{11}{15}$。

这套操作，翻译成今天的数学语言，就是：

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{1 \times 5 + 2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{5 + 6}{15} = \frac{11}{15}$

示意图

数学解读

1. "母互乘子"——通分的本质

孙子算经的"母互乘子"四个字，其实就是在讲通分。

通分是分数加法的基础——两个分数分母不同，不能直接相加，需要先变成相同的分母。孙子的做法是：把两个分母相乘 $3 \times 5 = 15$，作为公分母；然后把每个分子乘以"对方的分母"，得到新分子：

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}, \qquad \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$

然后再相加。这个方法的本质，就是利用分数的基本性质：分子分母同时乘以同一个非零数，分数的值不变。

2. 为什么不是"最小公倍数"？

细心的读者可能会发现：$3$ 和 $5$ 的最小公倍数是 $15$，恰好等于 $3 \times 5$。但如果分母是 $4$ 和 $6$，最小公倍数是 $12$，而 $4 \times 6 = 24$，用 $24$ 做公分母会更大。

孙子算经为什么没有用最小公倍数呢？原因很简单：最小公倍数的概念，中国古代数学里没有独立发展出来。 孙子直接取分母的乘积作为公分母，虽然有时候数字会偏大，但只要最后能约分，结果是一样的。这种"先算后约"的策略，跟现代"先约后算"的思路恰好相反，但都通向同一个答案。

这其实也反映了中国古代数学的一个特点：算法优先于最优化。 孙子给出的算法足够通用——对任意两个分母都有效——至于算完之后数字太大需要约分，那是另一道工序（他已经在第1讲教过约分了）。

3. "实"与"法"：被除数与除数的角色

孙子的"实"和"法"两个概念，贯穿了整个中国古代数学的核心：

• 实（被除数）：分子经过交叉相乘再求和之后的结果
• 法（除数）：分母相乘之后的结果

当"实"小于"法"时，结果就是分数 $\frac{实}{法}$。当"实"大于或等于"法"时，还可以进一步写成带分数。这种"实"和"法"的区分，在九章算术和孙子算经中随处可见，可以说是中国古代分数的"语法结构"。

4. 分数的"加法"与"并"的概念

有趣的是，孙子用的词是"合之"而不是"加"。在古人看来，两个分数"合"在一起，就是把两个部分拼成一个整体。这个"合并"的意象，比抽象的"加法"更加直观：你有一块饼的三分之一，又有了五分之二，把它们拼到一起，占整块饼的多少？

这种"合并"的思维，在教学中其实很有价值。很多学生学到分数加法时犯的错误——比如 $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{3}{8}$（分子加分子，分母加分母）——就是因为把分数加法理解成了"整体合并"，而不是"部分与部分在同一个整体下的叠加"。孙子用"母互乘子"的做法，恰恰在算法层面避免了这种错误。

5. 更一般的形式：多个分数相加

孙子算经在下一题（第3题）中，还会处理三个分数相加的情况。但算法核心不变——仍然是"母互乘子"，只不过分母们两两相乘，分子们各自交叉相乘后再求和。这个算法可以推广到任意多个分数的加法，本质上就是：

$\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} = \frac{\sum_{i=1}^n a_i \cdot \prod_{j \neq i} b_j}{\prod_{i=1}^n b_i}$

这个公式看起来很复杂，但孙子的表述极其简洁："母互乘子，并之，为实；母相乘，为法。"六个字，就概括了任意多个分数加法的完整算法。

高中课本关联

① 分数加法与通分（必修第一册·有理数）

分数加法是整个初中数学的基础，但很多学生到了高中，面对分式方程和代数式化简时，仍然在通分上出错。孙子的"母互乘子"实际上给出了一个机械化的通分步骤——不用考虑最小公倍数，直接分母相乘，分子交叉相乘再相加，然后约分。这个步骤即使对初学者也不会出错，因为它不依赖任何"判断"。

② 分式加减法（必修第二册·分式）

高中分式加减法的核心操作，跟孙子算经一模一样：$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2} = \frac{(x+2) + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)}$。所谓"通分"，本质上就是"母互乘子"的代数版本。如果学生理解了这个一脉相承的逻辑，分式加减法就只是把具体数字换成了字母而已。

③ 算法思维与计算机实现（信息技术·算法）

"母互乘子"是一个极其清晰的算法：输入两个分数 $(a, b)$ 和 $(c, d)$，输出 $\frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$。它没有分支、没有循环，是纯顺序结构。用编程语言写出来可能只有三行，但背后是两千年前中国人对"算法"的深刻理解。

教学启示

在教分数加法时，建议不要直接给出"通分"这个结果，而是先让学生体验孙子的"母互乘子"：

1. 给两个分数，比如 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$。
2. 告诉学生："古人说，分母互乘，分子交叉相乘再相加。"
3. 让学生动手算：$\frac{2 \times 4 + 3 \times 3}{3 \times 4} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$。
4. 然后问：这个结果对吗？可以用数轴或面积图验证。

这样做的好处是，学生先掌握了可操作的算法，再理解"为什么要通分"，比直接讲抽象概念更有效。而且，当学生发现孙子的算法总是给出正确结果时，他们会对"分数加法"产生一种"原来如此"的领悟。

思考与拓展

1. 算一算：用"母互乘子"法计算 $\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$，再用通分（最小公倍数）法算一遍。结果一样吗？哪种方法更简单？

2. 想一想：如果分母是互质的（比如 $3$ 和 $5$），分母乘积就是最小公倍数。如果分母不互质（比如 $4$ 和 $6$），分母乘积是 $24$，最小公倍数是 $12$。哪种情况数字更大？为什么孙子仍然选择"分母相乘"？

3. 挑战题：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$，用"母互乘子"法计算，最后约分。看看分子的数字有多大，再想想有没有办法事先简化？

一句话总结

"母互乘子，并之为实，母相乘为法"——孙子用六个字，写下了人类历史上最清晰的分数加法算法，至今仍是分式加减法的通用模板。