圆田求积——半周乘径半，古人这样算圆

原典

今有圆田，周三百步，径一百步。问：得田几何？

答曰：三十一亩，奇六十步。

术曰：先置周三百步，半之，得一百五十步；又置径一百步半之，得五十步，相乘，得七千五百步，以亩法二百四十步除之，即得。

白话翻译

有一块圆形田地，周长三百步，直径一百步。问这块田合多少亩？

答案是：三十一亩，还余六十步。

术文给的算法是：先把周长三百步取半，得一百五十步（半周）；再把直径一百步取半，得五十步（半径）；两者相乘，得七千五百步；最后用亩法二百四十步除，就得到答案。

注意这道题给的条件：周与径都给足了。《九章算术》的圆田术是「半周乘半径」，而本题直接把半径可由直径得出的事实摆了出来。直径一百步，那么半径五十步；半周乘半径，$150 \times 50 = 7500$ 步——这就是圆面积。

示意图

古人的算法

术文三步，一步步都对得上。

第一步，半周。 $300 \div 2 = 150$ 步。

第二步，半径。 $100 \div 2 = 50$ 步。

第三步，相乘得面积。

第四步，用亩法折算。

答曰三十一亩奇六十步，验算相符。

这道题的价值不在算术，在公式。 「半周乘半径」这五个字，等价于今天的

为什么？半周是 $\dfrac{C}{2} = \pi r$，半径是 $r$，两者相乘：

古人的表述里没有 $\pi$，但数学内容完全一样。 区别只在形式：古人把「半周」当作现成的量直接用，而今天的课本要先定义圆周率、再从周长反求半径。两条路都能到同一个公式，只是古人走的那条不需要圆周率这个中间概念——他们直接用可量测的半周和半径相乘。

现代数学视角

把古法翻译成今天的式子，一行就够：

代入题目：$C = 300$、$r = 50$，得 $S = 7500$ 平方步。用 $\pi r^2$ 验：$\pi \times 50^2 = 2500\pi \approx 7854$——比 7500 大约 $4.7\%$，因为本题的周与径之比是 $300 : 100 = 3 : 1$，用的正是周三径一。把 $\pi = 3$ 代回：$3 \times 50^2 = 7500$，与古法完全一致。

「半周乘半径」比「径自相乘」更稳。 中算书里另一种圆面积公式写作「径自相乘，以一十二除之」——那是从 $S = \pi r^2$ 出发、取 $\pi = 3$ 化出的：$3 r^2 = 3 \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{3d^2}{4}$，若要得整数除数，分子分母同乘四，得 $\dfrac{d^2 \times 3}{4} = \dfrac{d^2}{12}$ 的倒数关系，实际操作时径平方后要除不整齐。而「半周乘半径」每一步都是可实测的量，没有隐含假设，量错了立刻能发现。 这也是古代农书、工程书更爱用前者的原因。

圆面积的另一种来历：把圆周等分成许多小扇形，交错拼起来，越来越接近长方形。长方形的长是半周、宽是半径，面积就是半周乘半径。这条「割圆术」的思路，《庄子》里已有「一尺之棰」式的无限观想，刘徽注《九章算术》时正式用极限思想展开。本题虽未提分割，但公式本身就是这个几何直观的结晶。

高中课本关联

圆的面积：高中不讲怎么算圆面积（小学已会 $S = \pi r^2$），但常用它做综合题。本题可以作为引入素材——先让学生按「半周乘半径」算，再与 $S = \pi r^2$ 对照，理解两个公式本来就是一回事。

单位换算与面积单位：1 亩 = 240 平方步。这是古代的「平方步—亩」进位，与今天的平方米、公亩（1 公亩 = 100 平方米）不同源。让学生算一算 1 亩约合多少平方米（约 666.7），古今面积单位的关系立刻就具体了。

近似与误差：周三径一使面积低估还是高估？（答案：$r^2$ 项乘了 3 而不是 3.1416，算出的面积偏小约 $4.5\%$，即古法估小了田地。）这与第 18 讲粮窖「估大偏安全」正好相反——估大估小的利弊取决于用途。

带余除法：$7500 \div 240 = 31 \cdots 60$，写成带余除法的标准形。高中数学取模运算 $7500 \equiv 60 \pmod{240}$，就是这件事的抽象版。

思考与拓展

1. 算一算：按术文三步算一遍——半周、半径、相乘、除亩法，核对得 31 亩余 60 步。

2. 换公式：用 $S = \pi r^2$（取 $\pi = 3$、$\pi = 3.14$）分别计算本题，与古法 7500 平方步比较。三者差多少？解释差异来源。

3. 反问题：若一块圆田面积恰为 20 亩整，周径之比仍取周三径一，问直径多少步？

4. 周长已知：若只知周三百步、不知径，能否用「半周乘半径」求面积？半径怎么来？（提示：由周三径一，周是径的三倍。）

5. 单位小实验：查一查今天 1 亩等于多少平方米。本题的圆田直径 100 步、半径 50 步，若 1 步 = 1.5 米，这块田约合多少平方米、多少亩？

一句话总结

半周乘半径，两个一次除法加一次乘法——中国古代算圆面积不用圆周率，用的全是从地里量得出的数。