粟米之法三：粟换糳米——古人怎么算粮食兑换？

原文

今有粟四斗五升。問：為糳米幾何？

答曰：二斗一升五分升之三。

術曰：置粟四十五升，以二約糳米率二十四，得一十二，乘之，得五百四十升，為實；以二約粟率，五十得二十五，為法，除之，不盡，以等數約之，而命分。

白话翻译

题目：现在有粟四斗五升。问：能兑换成糳米多少？

答：二斗一升五分升之三（即二斗一升又五分之三升）。

方法：把粟的总量写成四十五升，用二去约糳米的率二十四，得到十二，用它去乘四十五，得到五百四十升，作为"实"（被除数）；用二去约粟的率五十，得到二十五，作为"法"（除数），用实除以法。如果不能除尽，就用等数去约简分数，然后命名分数部分。

示意图

数学解读

一、题目中的"率"是什么？

《孙子算经》卷中开篇就列出了"粟米之法"，给出了各种粮食之间的兑换比率。核心是：

• 粟率：50
• 糳米率：24

这里的"率"可以理解为：相同价值的粟和糳米，它们的数量比是 50 : 24。换句话说，50 升粟与 24 升糳米等价。

这正是"率"这个概念在中国古算中的核心含义——两个相关量的比值。

二、现代解法：比例的直接应用

设四斗五升粟能换 $x$ 升糳米。

根据兑换率：

$\frac{x}{45} = \frac{24}{50}$

解得：

$x = 45 \times \frac{24}{50} = \frac{1080}{50} = \frac{108}{5} = 21\frac{3}{5} \text{（升）}$

换算成古代表述：$21\frac{3}{5}$ 升 = 二斗一升五分升之三。

验算：$21\frac{3}{5} = \frac{108}{5}$，而 $45 \times 24 \div 50 = 1080 \div 50 = \frac{108}{5}$。✓

三、古术逐句解读

第一步："置粟四十五升"

把四斗五升统一换算成升。一斗等于十升，所以四斗五升 = 四十五升。这是把所有量统一到同一单位。

第二步："以二約糳米率二十四，得一十二"

"约"就是约分、除以的意思。用公因数 2 去约糳米率 24，得到 12。

这一步的筹算意义是：把分子分母同时除以 2，简化后续计算。

第三步："乘之，得五百四十升，為實"

用约简后的 12 去乘粟的总量 45：

$45 \times 12 = 540$

"实"是被除数，放在算筹除法的位置上。

第四步："以二約粟率，五十得二十五，為法"

用公因数 2 去约粟率 50，得到 25。

"法"是除数。

第五步："除之，不盡，以等數約之，而命分"

用实除以法：

$540 \div 25 = 21 \text{ 余 } 15$

得到带余除法：$540 = 25 \times 21 + 15$。

余数 15 与除数 25 组成分数 $\frac{15}{25}$，用"等数"（公因数 5）约分：

$\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

所以最终答案是 $21\frac{3}{5}$ 升。

四、古今对照：为什么古术要先约分？

现代算法是：$45 \times 24 \div 50$，直接算。

古术是：先把 24 和 50 同时除以 2，变成 $45 \times 12 \div 25$。

筹算为什么要先约分？

因为筹算做除法时，除数越小越容易操作。把 50 约成 25，把 24 约成 12，数字变小了，摆筹运算更方便。

这体现了中国古算的一个核心思想：先简化，再计算。不是死板地按顺序算，而是观察数字特征，灵活约简。

五、筹算除法的"命分"环节

"命分"是中国古算中处理分数结果的专门术语。当除法不整除时：

1. 先得到商和余数
2. 余数作分子，除数作分母
3. 约分成最简分数
4. 用"又"或"分之"的格式表述

本题中：$540 \div 25 = 21$ 余 $15$，所以分数部分是 $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$，最终表述为"二斗一升五分升之三"。

六、中西比较：比例算法的平行发展

《孙子算经》成书约在公元 4-5 世纪，其"率"的思想和比例算法已经非常成熟。

几乎同时期，古印度数学家如阿耶波多（476-550）也在研究类似的比例问题。而古希腊欧几里得的《几何原本》（约公元前 300 年）第五卷中，已经用几何方法建立了完整的比例理论。

不同的是，中国古算的"率"更侧重于实用计算，直接给出算法步骤；而古希腊的比例理论更侧重于逻辑证明。两者各有千秋，共同构成了古代数学的辉煌。

高中课本关联

知识点：比例运算与算法初步

本题的核心是正比例关系的应用，对应高中数学人教 A 版必修第二册"数学建模与数学探究"以及选择性必修第三册"数列与算法"相关内容。

高考考法：

1. 数学文化题：以《孙子算经》为背景，考查比例计算或程序框图。例如给出"粟米之法"的兑换率，要求计算兑换结果，或补全算法步骤。

2. 算法初步：本题的"术"就是一个完整的算法——输入粟量，经过约分、乘法、除法、约分，输出结果。可以要求画出程序框图或写出伪代码。

3. 分数运算：$21\frac{3}{5}$ 的表述方式虽然古老，但本质上就是带分数的运算，考查学生对分数意义的理解。

典型考题形式："《孙子算经》中有如下问题：今有粟四斗五升，问为糳米几何？……"要求学生根据古术文补全计算过程，或判断程序框图中缺失的步骤。

思考与拓展

题目一：如果反过来，有糳米三斗六升，能换粟多少升？请用古术的方法（先约分再计算）和现代方法分别求解，并比较结果。

题目二：《孙子算经》中还有"粟换粟米""粟换粺米"等问题，兑换率各不相同。如果粟率是 50，粺米率是 27，那么 60 升粟能换多少粺米？请写出完整的筹算过程。

题目三：本题古术中，分子分母同时除以 2 进行约分。如果兑换率不是 24 和 50，而是 36 和 75，应该除以几来约分？这用到了什么数学概念？请说明"等数"与现代数学中什么概念对应。

一句话总结

粟换糳米，本质是正比例；古术先约后算，体现中国古算"化繁为简"的智慧——算法不是死板的步骤，而是对数字特征的灵活把握。