糳米与御米：一次约分省掉一半力气

原典

今有粟四斗五升。问：为糳米几何？

答曰：二斗一升五分升之三。

术曰：置粟四十五升，以二约糳米率二十四，得一十二，乘之，得五百四十升，为实；以二约粟率，五十得二十五，为法，除之，不尽，以等数约之，而命分。

白话翻译

有粟四斗五升。问能换多少糳米（舂过一遍的精米）？

答案是：二斗一升又五分之三升。

术文给的算法是：把粟按四十五升计，拿二约糳米率二十四，得十二，乘上去得五百四十升作为被除数；再拿二约粟率五十，得二十五，作为除数；除完若不尽，用等数（最大公约数）约分，再用分数记出结果。

注意术文比上一讲多了「以二约」三步。 这不是冗余——它让乘出来的是 540 而不是 1080，除的是 25 而不是 50。在算筹上，数字小一半，摆筹、乘法、除法全都省力。

示意图

古人的算法

第一步，统一单位。 四斗五升 = 四十五升。

第二步，约分。 术文说「以二约糳米率二十四，得一十二」「以二约粟率，五十得二十五」。也就是

为什么可以这么做？ 因为整个算法是「乘一个率、除另一个率」，分子分母同时除以同一个数，比值不变：

这就是约分。 古人不写等式，只写在算筹上怎么省力——但他们确实懂这个性质。

第三步，乘得实。

术文「得五百四十升」。

第四步，除得商。

术文说「不尽，以等数约之，而命分」——除不尽，就用最大公约数化简分数，最后记成「$\cdots\frac{3}{5}$」。

换成复名数：$21\frac{3}{5}$ 升 = 21 升 + 0.6 升。21 升是二斗一升（1 斗 = 10 升），0.6 升是「五分升之三」（一升的五分之三）。合起来正是答曰「二斗一升五分升之三」。

验算：

两条路径都得 21.6 升，与答曰一致。

出米率这回是：

比粝米的 60% 低了——因为糳米舂得更精，损耗更大。

现代数学视角

用今天的记号，这道题就是

约分是标准的化简步骤：

于是 $m = 45 \times \dfrac{12}{25} = \dfrac{540}{25} = \dfrac{108}{5} = 21.6$ 升。

术文的「以二约」正是在做这一步。 值得跟学生强调的是：约分不改变结果，但改变计算量。在算筹时代，把 1080 与 50 换成 540 与 25，意味着摆筹少一半、心算负担小一半。这是数学技巧服务于计算效率的早期范例。

「以等数约之，而命分」这句话更重要。它的意思是：除不尽时，先求分子分母的最大公约数，化到最简，再用分数记出。这正是今天分数运算的规范步骤——先约分，后表示。古人已经把它写进术文，作为通用规则。

换算成复名数的逻辑：21.6 升，整数部分 21 拆成「2 斗 1 升」（逢十进一斗），小数部分 0.6 记成「五分升之三」（一升分成五份取三份）。这是古代处理小数的标准办法——不用小数点，用下一级单位加分数。

高中课本关联

约分与最简分数：$\dfrac{24}{50} \to \dfrac{12}{25}$，$\dfrac{540}{25} \to \dfrac{108}{5}$。这是最基础的分数化简，本题给出了一个真实的动机——省算力。

分数与除法的关系：$540 \div 25 = \dfrac{540}{25}$。分数就是除法的另一种写法，本题把两者的衔接演示得清清楚楚。

正比例与百分比：$m = 45 \times 48\% = 21.6$ 升。把古代的率翻译成百分数，古今数学立刻对接。

复名数与小数的等价：21.6 升 = 二斗一升五分升之三。让学生换算几组（如 33.18 升 = 三斗三升一合八勺），体会「逢十进一」与「十分之一」的对应。

思考与拓展

1. 算一算：不约分直接算 $45 \times 24 \div 50$，再约分算 $45 \times 12 \div 25$，比较两个过程。哪个摆筹更省？差了百分之几的工作量？

2. 换算验算：把 $21\frac{3}{5}$ 升换算成「二斗一升五分升之三」，说明每一级（斗、升、分）分别怎么来。

3. 改数据：若粟改为六斗（60 升），问得糳米几何？（答案：$60 \times \dfrac{12}{25} = 28.8$ 升，即二斗八升五分升之四。）

4. 三米对比：粝米率 30、糳米率 24、御米率 21，出米率分别是 60%、48%、42%。若三种米各要得 10 升，各需粟多少升？三者相差几何？

5. 为什么要约：术文说「不尽，以等数约之，而命分」。请解释：若最后得到 $\dfrac{540}{25}$，不约分直接写成「二十五分之五百四十」行不行？为什么古人要化到 $\dfrac{108}{5}$？

一句话总结

45 乘 12 除 25，跟 45 乘 24 除 50 本是一回事——以二约，约的是数字的大小，不是答案。