邱田求积——半周乘半径的又一次检阅

原典

今有邱田周六百三十九步，径三百八十步。问：为田几何？

答曰：二顷五十二亩二百二十五步。

术曰：半周得三百一十九步五分，半径得一百九十步，二位相乘，得六万七百五步，以亩法除之，即得。

白话翻译

有一块圆形田（「邱」通「丘」，指高起的田地，此处即圆田），周长六百三十九步，直径三百八十步。问这块田合多少亩？

答案是：二顷五十二亩，还余二百二十五步。

术文给的算法是：把周长取半，得三百一十九步五分；把直径取半，得半径一百九十步；两者相乘，得六万零七百零五步；最后用亩法二百四十步除，得到答案。

第 21 讲已经讲过「半周乘半径」，本题是同一算法的第二遍演练。 但数字换过之后，麻烦来了——周是 639（奇数），半周就成了 $319.5$，不是整数。就这半步，让整道题从「整数题」变成了「分数题」。

示意图

古人的算法

术文三步，但中间那半步要格外小心。

第一步，半周。 $639 \div 2 = 319.5$ 步。术文写作「三百一十九步五分」——古代不用小数点，「五分」即半步。

第二步，半径。 $380 \div 2 = 190$ 步。这一步是整数。

第三步，相乘得面积。

验算：$319.5 \times 190 = 319.5 \times 19 \times 10 = 6070.5 \times 10 = 60705$。

第四步，以亩法除之。

整数部分 252 亩。古人不写小数，也不满足于「252 又十六分之十五亩」，而是把余下的部分折算成最小单位「步」：

所以答案是 252 亩余 225 步。又因为 1 顷 = 100 亩，252 亩写作「二顷五十二亩」。

完整验算：

与面积 60705 完全吻合，答曰验算无差。

这个「半步」教了一件事：古代算家面对半奇数时，不会为了避免分数而把周长近似成 640。他们宁可带着 $\dfrac{1}{2}$ 一路算到底，最后用「步」这个最小单位把它收拾干净。这是对精度的坚持，也是单位制的巧妙之处——只要最小单位足够小，分数总能落地。

现代数学视角

用今天的记号：

本题 $C = 639$、$d = 380$，故

若取 $\pi = 3$（即 $C = 3d$），则 $S = \dfrac{3d^2}{4}$。但本题 $C : d = 639 : 380 \approx 1.68$，并不是严格的 3 : 1——古人默认用「半周乘半径」这个通用公式，反而不必要求周径严格符合周三径一。 这是中国古算的一个优良传统：公式先用，常数后校。题面给了周和径，就按给定的算，不去追究二者是否自洽。

如果较真一下：一个直径为 380 步的圆，若真按 $\pi$ 算周长应为 $380\pi \approx 1193.8$ 步，而题面只给 639。可见「周」不是这个圆的真实周长，而是题目自设的数。今天的学生会在这里卡住：题目数字不成立怎么办？ 答案是——古算题的数字是为算法服务的，不是为几何真实性服务的。按给定条件算，就是这个体系里的规矩。

亩是古代的面积单位：1 亩 = 240 平方步，这是商鞅变法以来确立的「百亩为顷」制的变体。按今天的折算，1 步约 1.5 米，则 1 亩约合 666.7 平方米——与今天市亩 666.67 平方米惊人接近。古人定的亩，用了几千年。

高中课本关联

圆周率与周长公式：$C = 2\pi r$ 与 $C = \pi d$ 的互换。本题给了周与径两项，可以让学生反推 $\pi \approx \dfrac{639}{380} \approx 1.68$，再讨论为什么与 3.14 差这么多——这是理解「古算题数字自洽性」的绝佳切口。

分数与带余除法：$\dfrac{60705}{240} = 252\frac{15}{16}$。既有分数又有余数，训练的是同一件事的两种表述。让学生写出两种答案并换算，体会各自的适用场合。

单位进位的层级：顷（100 亩）—亩（240 平方步）—步。三级进位，今天只保留到「亩」。可以让学生查现在的单位制（平方米、公顷、亩），讨论为什么要合并层级。

估算与验算：$252 \times 240 + 225 = 60705$ 这个回代动作，是数学里最朴素也最重要的好习惯。今天解完方程要代回检验，与这道题是同一个动作。

思考与拓展

1. 算一算：按术文算一遍——半周 319.5、半径 190、相乘 60705、除 240 得 252 余 225；再回代 $252 \times 240 + 225$ 验算。

2. 比一比：若周是 640 步（偶数）、径仍是 380 步，答案会变成多少？半周的半步消失了，计算简单了多少？

3. 反推 π：由本题 $C = 639$、$d = 380$，算 $\dfrac{C}{d}$。与 3 相比差多少？这说明了古算题数字的什么特点？

4. 换算单位：查一查 1 步约合多少米（秦制约 1.386 m 至 1.5 m 不等），估算本题这块圆田约合多少平方米、多少市亩。

5. 编题：自己编一道「邱田」题：任取一个直径（如 420 步）和周（如 629 步），按术文算出答案，并确保最终能化成整数亩余整数步（提示：先定面积，再反推周径）。

一句话总结

半周带了半步，答案带了余步——古人宁可让分数从 319.5 一路走到 225，也不肯把数字磨圆。