御米与合勺：古代小数藏在最小单位里

原典

今有粟七斗九升。问：为御米几何？

答曰：三斗三升一合八勺。

术曰：置七斗九升以御米率二十一乘之，得一千六百五十九，为实，以粟率五十除之，即得。

白话翻译

有粟七斗九升。问能换多少御米（最精白的上等米）？

答案是：三斗三升一合八勺。

术文给的算法是：把七斗九升乘御米率二十一，得一千六百五十九作为被除数；拿粟率五十作除数，除完即得。

这道题的答案用了四级单位：斗、升、合、勺。其中合与勺比升还小——这是《孙子算经》里第一次出现「合」和「勺」，也是它记录小数值的方式。

示意图

古人的算法

第一步，统一单位。 七斗九升 = 79 升。

第二步，乘御米率。

$$79 \times 21 = 1659$$

术文「得一千六百五十九」。这一步心算可拆：$79 \times 21 = 79 \times 20 + 79 = 1580 + 79 = 1659$。

第三步，除以粟率。

$$1659 \div 50 = 33.18\ \text{升}$$

写成带分数：$33 \dfrac{9}{50}$ 升。

第四步，换成复名数。 33.18 升怎么拆？

先用「逢十进一斗」：$33 = 3 \times 10 + 3$，即 3 斗 3 升。剩下小数部分 $0.18$ 升。

秦汉量制在升以下还有两级：

$$1\ \text{升} = 10\ \text{合}, \qquad 1\ \text{合} = 10\ \text{勺}$$

所以

$$0.18\ \text{升} = 1.8\ \text{合} = 1\ \text{合}\ 8\ \text{勺}$$

合起来正是答曰：三斗三升一合八勺。

验算：$3 \times 10 + 3 + 0.1 + 0.08 = 33.18$ 升 ✓

这次术文没有约分——因为御米率 21 与粟率 50 没有公因数（21 = 3 × 7，50 = 2 × 5²），要约也无从约起。上一讲糳米率 24 与 50 有公因数 2，所以有「以二约」。约不约，取决于数字本身——古人按实际情况处理，不生搬硬套。

现代数学视角

$$m = 79 \times \frac{21}{50} = 79 \times 0.42 = 33.18\ \text{升}$$

出米率 42%，是全卷最低的。 三种米排在一起：粝米 60%、糳米 48%、御米 42%。御米要磨到最精，四成二的粮食变成了糠和壳。

御米是什么米？ 精白上等米，多供上层与祭祀。古代米质分级，本质是加工程度的分级——今天超市里的糙米、胚芽米、精白米，同一个逻辑：越精白，损耗越大，价格越高。

复名数就是古代的小数系统。 33.18 这个数，古人没有小数点可用，于是借最小单位分拆：

单位	进位	本题取值
斗	10 升	3
升	10 合	3
合	10 勺	1
勺	—	8

每一级都是十进，所以它可以无限往下分。今天的十进制小数，本质是同一件事——只是把「合」换成「十分位」、把「勺」换成「百分位」。中国古代的小数表达，比小数点符号更早。

一个细节值得注意：$0.18$ 升拆成「1 合 8 勺」而不是「1.8 合」，因为古人不在合这一级用分数，而是继续往下一级走，直到除尽或到最小单位。这就是「逐级细分解」策略。

高中课本关联

小数与分数互化：$33.18 = 33\dfrac{9}{50} = 33\dfrac{18}{100}$。让学生写出这三种种等价形式，并说明各自适用场合。

十进制与位值：斗、升、合、勺四级都是十进，对应今天的十位、个位、十分位、百分位。这是理解「位值制」的绝佳素材——中国人在十进位值制上有极深的造诣。

百分数：42% 的出米率，可用来讲百分数与比例。让学生算：若御米要得 50 升，需粟多少？（$50 \div 0.42 \approx 119$ 升。）

单位换算链：1 斗 = 10 升、1 升 = 10 合、1 合 = 10 勺，四级换算一次串完。这是今天「千—毫—微」国际单位制的古代版本。

思考与拓展

1. 算一算：按术文算——$79 \times 21 = 1659$，$1659 \div 50 = 33.18$；再把 0.18 升拆成 1 合 8 勺，验算答曰。

2. 反推率：若不知道御米率，只知 79 升粟得 33.18 升御米，能否反推出御米率？（提示：$\dfrac{33.18}{79} = 0.42$，乘以粟率 50 得 21。）

3. 改数据：若粟改为五斗（50 升），问得御米几何？（$50 \times 0.42 = 21$ 升，即二斗一升，恰好除尽。）

4. 四级单位练习：把下面各数换成「斗升合勺」：45.6 升、12.05 升、100 升、7.77 升。

5. 古今对照：今天 1 升 = 1000 毫升。古代的合、勺换算成毫升各是多少？若 33.18 升御米放在今天，等于多少毫升？

一句话总结

79 乘 21 除 50，得 33.18——古人没有小数点，却有斗升合勺四级十进，把小数记在了最小单位里。