粟米之法四：粟换御米——当古人面对粮食兑换的数学智慧

原文

今有粟七斗九升。問：為御米幾何？

答曰：三斗三升一合八勺

術曰： 置七斗九升以御米率二十一乘之，得一千六百五十九，為實，以粟率五十除之，即得。

白话翻译

现在有粟（粗米）七斗九升。问：能兑换成御米（精米）多少？

答案是：三斗三升一合八勺。

计算方法是：把七斗九升换算成升数（共79升），乘以御米的兑换率21，得到1659，作为"实"（被除数）；再用粟的兑换率50去除，就得到了答案。

示意图

数学解读

一、现代算法完整过程

本题的核心是单位换算与比例计算。古代容量单位换算关系为：

$1 \text{ 斗} = 10 \text{ 升}, \quad 1 \text{ 升} = 10 \text{ 合}, \quad 1 \text{ 合} = 10 \text{ 勺}$

将七斗九升统一为升：

$7 \text{ 斗 } 9 \text{ 升} = 7 \times 10 + 9 = 79 \text{ 升}$

粟米互换的通用公式是：

$\text{所求米量} = \text{原有粟量} \times \frac{\text{所求米率}}{\text{粟率}}$

代入数据：

$\text{御米量} = 79 \times \frac{21}{50} = \frac{79 \times 21}{50} = \frac{1659}{50} = 33.18 \text{ 升}$

将33.18升转换回复合单位：

• 整数部分：$33.18 = 30 + 3.18 = 3 \text{ 斗 } 3 \text{ 升} + 0.18 \text{ 升}$
• 小数部分：$0.18 \text{ 升} = 1.8 \text{ 合} = 1 \text{ 合 } 0.8 \text{ 合} = 1 \text{ 合 } 8 \text{ 勺}$

最终答案：

$33.18 \text{ 升} = 3 \text{ 斗 } 3 \text{ 升 } 1 \text{ 合 } 8 \text{ 勺}$

二、古术逐句解释

"置七斗九升"——"置"是算筹术语，意为"摆放"。将七斗九升按十进制化为单一单位"升"，共79升，用算筹摆放在中间位置（实位）。算筹记数纵横相间：个位用纵式、十位用横式，79的筹式为𝍩𝍧（十位七横，位九纵）。

"以御米率二十一乘之"——取御米的兑换率21，乘实数79。筹算乘法分三步：先以御米率20乘79得1580，再以1乘79得79，相加得1659。运算时，乘数21摆放在下方（法位），乘得的结果逐步替换实位上的数字。

"得一千六百五十九，為實"——乘得1659，此数作为新的"实"（被除数），准备进行除法运算。

"以粟率五十除之，即得"——以粟的兑换率50去除1659。筹算除法称为"商除法"，50作为"法"摆放在下方，对1659试商：$50 \times 30 = 1500$，余159；$50 \times 3 = 150$，余9；继续以余数9为实，$9 \div 50 = 0.18$，最终得商33.18。

三、古今对照验证

步骤	古术表述	现代算式	结果
单位统一	置七斗九升	$7 \times 10 + 9 = 79$	79升
乘法运算	以御米率二十一乘之	$79 \times 21$	1659
确定被除数	得一千六百五十九，為實	被除数 = 1659	1659
除法运算	以粟率五十除之	$1659 \div 50$	33.18升
单位还原	（隐含）	$33.18 = 3\text{斗}3\text{升}1\text{合}8\text{勺}$	三斗三升一合八勺

古今算法完全一致，核心都是比例关系：

$\text{御米} = \text{粟} \times \frac{\text{御米率}}{\text{粟率}} = 79 \times \frac{21}{50} = 33.18$

四、"率"的概念与粟米互换体系

《孙子算经》卷中开篇即列"粟米之法"，给出了各种粮食的"率"：

粮食	率
粟	50
粝米	30
稗米	27
粺米	24
御米	21
御黍	18
...	...

这里的"率"本质上是一个换算系数，表示单位量的该种粮食相对于"粟"的"价值密度"或"换算权重"。率越大，同等体积（或重量）的粮食越"粗"；率越小，越"精"。

粟换御米的逻辑是：79升"粗粮"（率50），能换多少"精粮"（率21）？

$\text{精粮量} = \text{粗粮量} \times \frac{\text{精粮率}}{\text{粗粮率}} = 79 \times \frac{21}{50}$

这正是一个反比例关系：粮食越精（率越小），同等数量的粗粮换得的精粮越少。79升粟只换得约33升御米，符合生活经验。

五、中西比较：率算的历史地位

这种"以率率之"的方法，在西方数学史上对应的是三法则（Rule of Three）。

• 古中国：《孙子算经》（约公元4-5世纪）已系统使用率的概念，将各类粮食互换统一为"以所求率乘实为实，法率为法"的通用算法。
• 古印度：《婆罗摩修正体系》（婆什迦罗，12世纪）中也有类似的三法则。
• 欧洲：斐波那契《计算之书》（1202年）将三法则从阿拉伯世界引入欧洲，成为商业算术的核心算法。

中国"率"的概念更早，且更具系统性——不仅用于粮食兑换，还扩展为"今有术"（即三法则的通用形式），成为中国传统数学的重要算法模型。

高中课本关联

本题对应的高中数学知识点：

1. 基本运算与单位换算——十进制单位换算（斗、升、合、勺）是基础运算能力的考查。

2. 算法初步——"先乘后除"的算法流程，体现了程序化思想。在高中数学必修3"算法初步"中，本题可设计为算法案例：输入粟量，乘以御米率，除以粟率，输出结果。

3. 数学建模——将实际问题抽象为比例模型，即"已知总量和两部分的比例关系，求各部分量"，这是高考常见的应用题类型。

高考考法示例：以古代数学名著为背景，考查算法流程图或数学文化题（近年高考热点）。

思考与拓展

基础题：今有粟二斗五升，问为粝米几何？（粝米率30）

解答：$25 \times 30 \div 50 = 15$升 = 一斗五升

进阶题：今有粟一石，先换得粺米（率24），再以粺米换御米（率21），问最终得御米几何？

解答：第一步，$100 \times 24 \div 50 = 48$升粺米；第二步，$48 \times 21 \div 24 = 42$升御米。或直接用连比例：$100 \times \frac{24}{50} \times \frac{21}{24} = 100 \times \frac{21}{50} = 42$升。可见中间粺米的"率"被约去，结果与直接粟换御米相同——这体现了率的传递性。

挑战题：若粟率变为60，御米率变为28，其他条件不变，今有粟七斗九升，问为御米几何？分析率的变化对结果的影响。

解答：$79 \times 28 \div 60 = \frac{2212}{60} \approx 36.87$升 = 3斗6升8合7勺。率从21/50变为28/60，比值从0.42变为约0.467，兑换率提高，故得米增多。这说明"率"的设定直接影响换算结果，反映了不同历史时期或地区粮食加工精度的差异。

一句话总结

粟米互换的核心是"以率率之"——用比例关系将不同粮食统一度量，先乘后除，古今算法一脉相承，体现了中国传统数学"率"的思想体系。