穿渠计功——当面积单位混进长度单位

原典

今以穿渠，长二十九里一百四步，上广一丈二尺六寸，下广八尺，深一丈八尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？

答曰：三万二千六百四十五功。

术曰：置里数以三百步乘之，内零步，六之，得五万二千八百二十四尺，并上下广，得二丈六寸，半之，以深乘之，得一百八十五尺四寸，以长乘得九百七十九万三千五百六十九尺六寸，以人功三百尺除之，即得。

白话翻译

要开挖一条渠道：长二十九里又一百零四步，上口宽一丈二尺六寸，下底宽八尺，深一丈八尺。秋季每人定额三百立方尺。问需要多少功？

答案是：三万二千六百四十五功。

术文给的算法是：把里数乘三百步，加零头步数，得总步数；再乘六（一步六尺），得总长五万二千八百二十四尺；上下广相加，得二丈六寸（应为二丈零六寸），取半；乘深度，得「一百八十五尺四寸」——这是截面积；乘长得体积；最后用三百除，得功数。

这道题与第 29 讲的「筑城」是同一类工程定额题，一样算梯形截面体积、一样除人功。但它难得多：渠道长度以「里」和「步」计，宽以「丈、尺、寸」三级计，中间还夹着「平方尺」这个面积单位，而术文偏偏用同一个「尺」字记三样东西。单位层级全乱套，正是本题的刻意之处。

示意图

古人的算法

术文五步，每步都有单位陷阱，逐个拆。

第一步，里换算成步。 1 里 = 300 步。二十九里是

$$29 \times 300 = 8700\ \text{步}$$

「内零步」——把零头一百零四步加进来：

$$8700 + 104 = 8804\ \text{步}$$

第二步，步换算成尺。 1 步 = 6 尺：

$$8804 \times 6 = 52824\ \text{尺}$$

术文「得五万二千八百二十四尺」。这一步和第 18 讲的圆窖一样，用的是「1 步 = 6 尺」这个秦汉度量（今天的一步通常指左右各一步，古代「步」是长度单位，六尺为步）。

第三步，截面积。 上广一丈二尺六寸、下广八尺。先统一成寸：

$$\text{上广} = 1\text{丈}2\text{尺}6\text{寸} = 126\ \text{寸}$$ $$\text{下广} = 8\text{尺} = 80\ \text{寸}$$

并之得 $126 + 80 = 206$ 寸，即二丈零六寸。术文写「得二丈六寸」，省略了中间那个「零尺」——中算常见的简记，读的时候必须补全，否则会误以为是 26 寸。

半之：

$$206 \div 2 = 103\ \text{寸}$$

以深乘之。深一丈八尺 = 180 寸：

$$103 \times 180 = 18540\ \text{平方寸}$$

换成平方尺（1 平方尺 = 100 平方寸）：

$$18540 \div 100 = 185.4\ \text{平方尺}$$

这就是术文「一百八十五尺四寸」的真相——它是 185.4 平方尺，不是 185 尺加 4 寸长！面积单位里的「寸」，指的是平方寸，与尺子上的寸完全两回事。术文用「尺」记平方尺、用「寸」记「点四」，读错一个字整道题就崩。

第四步，截面积乘长得体积。

$$185.4 \times 52824 = 9793569.6\ \text{立方尺}$$

用分数精确认证：截面积 $= \dfrac{927}{5}$ 平方尺，长 $= 52824$ 尺，

$$V = \frac{927}{5} \times 52824 = \frac{48967848}{5}$$

第五步，除定额。

$$N = \frac{V}{300} = \frac{48967848}{1500} = \frac{4080654}{125} = 32645\frac{29}{125}$$

整数部分 32645 功，与答曰相符。余下的 $\dfrac{29}{125} \approx 0.23$ 功（约四分之一日的工），古人取整不计。

验算：$32645 \times 300 = 9793500$，与体积 $9793569.6$ 差 69.6 立方尺——正是那个被舍掉的零头。

现代数学视角

用今天的单位制，这道题可以写得很干净。先全换成米：设秦汉一尺约 0.231 米、一步约 1.386 米，则渠道长约 $8804 \times 1.386 \approx 12200$ 米；上口宽约 2.91 米，底宽 1.85 米，深约 4.16 米。截面积约 $\dfrac{(2.91+1.85) \times 4.16}{2} \approx 9.9$ 平方米，总体积约 12.1 万立方米。按一人一日一方（1 立方米）算，约需 12 万个工日——与古法 32645 功同量级（秦汉尺、亩、步的取值历代有争议，量级一致即可）。

本题最有价值的地方，是它逼你分清三个层次的「尺」：

1. 长度尺：竖着量的，1 步 = 6 尺，1 丈 = 10 尺；
2. 面积平方尺：1 平方尺 = 10 寸 × 10 寸 = 100 平方寸；
3. 体积立方尺：1 立方尺 = 10 寸见方。

「平方尺」进到「寸」，进率是 100 而非 10——这就是陷阱所在。术文的「一百八十五尺四寸」，若按长度读成 185.4 尺，恰好蒙对；若读成 185.04 尺，答案就变成 32581 功，与答曰差了 64 功。

为什么古人有勇气省略中间步骤：因为中算书是写给同行的，读者在算筹上操作时，「尺」表示平方尺是不言自明的——算筹摆在那里，是平方还是立方一眼看得出。写下来就含糊了。 这也是我们今天强调「写清单位」的最早教训。

高中课本关联

单位换算的层级：长度、面积、体积三套单位，进率分别是进制的一次、二次、三次方。本题把三套同时用上，是训练量纲意识的极品素材。让学生列出每一步的单位，标出哪里是长度、哪里是面积、哪里是体积。

梯形截面体积：$V = \dfrac{(a+b)h}{2} \times L$，与第 29 讲同一公式。可对比两题的算法异同（本题多了「里→步→尺」的长度换算）。

分数与取整：$32645\dfrac{29}{125}$ 中，$\dfrac{29}{125} \approx 0.23$。古人取整。现代工程预算对取整有明确规则（如按定额四舍五入至整数工日），可以讨论：向上取整、向下取整、四舍五入，分别适用于什么场景？

近似与误差：舍去 0.23 功，相对误差约 $0.0007\%$，完全可忽略。这说明：懂得哪里可以省，跟懂得怎么算一样重要。

思考与拓展

1. 算一算：按术文五步完整算：$29 \times 300 + 104 = 8804$ 步，$\times 6 = 52824$ 尺；上下广化为寸（126、80）并半得 103；$\times 180 = 18540$ 平方寸 = 185.4 平方尺；$\times 52824$；$\div 300 \approx 32645.23$。核对每一步。

2. 抓陷阱：术文「并上下广得二丈六寸」少写了一个「零」字。请指出正确值应为多少，并估算如果照字面读成 26 寸，答案会错多少倍。

3. 单位辨析：术文的「一百八十五尺四寸」是什么量？请分别说明长度、面积、体积三种「尺」在本题中出现在哪一步。

4. 改数据：若上广改为一丈八尺，其他不变，重算功数。此时截面积是否仍是「××尺×寸」的简式？

5. 取整讨论：古法答 32645 功，精确值是 $32645.23$。若每天要发口粮给工人，向上取整更安全；若统计已用工时，向下取整更保守。你认为这里该用哪种？查一查现行预算定额用的是哪种。

一句话总结

里、步、尺、丈、寸、平方尺、立方尺，七个单位走完一道题——术文用同一个「尺」字记三样东西，简洁得惊人，也危险得惊人。