钱分三等——一道被古人拆成四次的配分题

原典

今有钱六千九百三十，欲令二百一十六人作九分，分之：八十一人，人与二分；七十二人，人与三分；六十三人，人与四分。问：三种各得几何？

答曰：二分人得钱二十二，三分人得钱三十三，四分人得钱四十四。

术曰：先置八十一人于上，七十二人次之，六十三人在下，头位以二乘之，得一百六十二，次位以三乘之，得二百一十六，下位以四乘之，得二百五十二，副并三位，得六百三十为法。又置钱六千九百三十，以一百六十二乘之，得一百一十二万二千六百六十，又以二百一十六乘中位，得一百四十九万六千八百八十，又以二百五十二乘下位，得一百七十四万六千三百六十，各为实，以法六百三十各除之，头位得一千七百八十二，中位得二千三百七十六，下位得二千七百七十二，各以人数除之，即得。

白话翻译

有六千九百三十文钱，要按「九分」的比例分配给三类共二百一十六人：第一类八十一人，每人得二分；第二类七十二人，每人得三分；第三类六十三人，每人得四分。问三类共各得多少钱？

答案是：第一类共得 1782 文（人均 22），第二类共得 2376 文（人均 33），第三类共得 2772 文（人均 44）。

术文的算法是：先把各组人数分别乘各自的份数率——$81 \times 2 = 162$、$72 \times 3 = 216$、$63 \times 4 = 252$；三者相加得 630，作为「法」（除数）。然后拿总数 6930 分别乘这三个积：$6930 \times 162 = 1122660$、$6930 \times 216 = 1496880$、$6930 \times 252 = 1746360$；各自除以 630，得三组的总钱数；再各除本组人数，得人均。

今天看这套流程，会觉得绕——为什么不直接按人数乘份数的比例分钱，非要先把总数乘一遍再除回来？这个「绕」正是本题的价值。

示意图

古人的算法

术文把一道配分题拆成了「两正一反」三步。

第一步，求各组的权。 人数乘份数率：

「权」就是分配时的份量。这里人数多、份数率高，权就大。三者相加：

这就是总权，术文立为「法」。

第二步，总数按权分配。 拿总数 6930 分别乘各权：

各除以总权 630：

验算：$1782 + 2376 + 2772 = 6930$，正好等于总数，一文不差。

第三步，求人均。 各除本组人数：

与答曰完全一致。

验算结构性：三组权 $162 : 216 : 252 = 81 \times 2 : 72 \times 3 : 63 \times 4$。人均分别是 22、33、44——恰好是 $22 : 33 : 44 = 2 : 3 : 4$，也就是份数率本身。这不是巧合：因为人数与份数的搭配恰好让最后落回简单的比例。

现代数学视角

用今天的语言，这是加权平均。

人均值是

本题是三组独立分配，不是求平均，但结构一样：总权 630 是分母，各权是分子。 每组分到的钱占总数的比例，就是它占总权的比例：

验算：$\dfrac{9}{35} + \dfrac{12}{35} + \dfrac{14}{35} = \dfrac{35}{35} = 1$。

今天一行式子：设份数率之和为 $K = 2+3+4=9$，人均钱 $= \dfrac{6930}{216} \times \dfrac{\text{率}}{K}$。验算：$\dfrac{6930}{216} \approx 32.08$，$32.08 \times \dfrac{2}{9} \approx 7.13$——咦，不等于 22？

原因在于：题目不是「216 人均分、再按率微调」，而是三组各自独立计算。第一组 81 人只按「二分」分，第二组只按「三分」分——三组互不相干，各自在总盘子里占一份。所以不能用「除以总人数」的思路。古人把它拆成三步，恰恰避免了这种混淆。

数学上，这题等价于：已知三组权 $162, 216, 252$，把 6930 按权瓜分。这就是《九章算术》「衰分」章的标准题型——按比例分配。今天的比例尺、地图比例、溶液配比（如 1:2:3 配料），都是同一件事。

高中课本关联

比例与配比：$\dfrac{\text{各部分}}{\text{总和}} = \dfrac{\text{对应权}}{\text{总权}}$。这是初中的比例应用题，本题是其完整古典版。EX 给一组「三队按 2:3:4 分奖金」的题，学生立刻能对上。

加权平均：三组权 $162, 216, 252$ 对应人均 22、33、44，加权平均是

但注意：这里加权的是「各权的钱数」而不是「人均」，需要先想清楚权重是什么。这是最好的思辨练习。

方程思想：设一份为 $u$，则三组权为 $2u, 3u, 4u$（按组内人人平等），$9u = 6930$本题权里含了人数。让学生自己找出为什么不能这样设，比做对十道题更有价值。

验算习惯：$1782 + 2376 + 2772 = 6930$——加回来等于总数，这是分配题必须做的验算。今天做完分配题也要检查「是否分完」，这是最基本的自检。

思考与拓展

1. 算一算：按术文重算——$(81\times2)=162$、$(72\times3)=216$、$(63\times4)=252$、和 630；$6930\times162\div630=1782$、$1782\div81=22$。三组都走一遍，并验算 22、33、44 是否等于 2、3、4 的比例。

2. 比例辨析：为什么不能直接用 $\dfrac{6930}{216}$ 当作「人均基准」再乘 2、3、4？请用一句话说清本题与「216 人按 2:3:4 分钱」的区别。

3. 改数据：若钱数改为 8000，其他不变，答案还是整数吗？若不是，古人会怎么记？（提示：看 8000 能否被 630 整除。）

4. 加权平均：以三组人数（81、72、63）为权重，对 22、33、44 求加权平均。这个平均数说明什么？它与简单平均 $\dfrac{22+33+44}{3}=33$ 差多少？

5. 生活版：三个班参加义务劳动，甲班 40 人、乙班 35 人、丙班 25 人，共得奖金 6930 元，按 2:3:4 的份数分配给各班（班内人均）。分别算出每班奖金和人均，与本题对照。

一句话总结

人数乘份数得权，总数按权瓜分——古人为一道配分题立了三次乘法又除三次回来，今天一行加权平均，做的是同一件事。