禽兽同笼：一道算错了的古题——学会验证，哪怕它来自经典

原文

今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足。问：禽、兽各几何？

答曰：八兽、七禽。

术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽。

白话翻译

有一种怪兽，每只长 6 个头、4 只脚；禽鸟每只长 2 个头、2 只脚。笼中上头共数出 76 个，下面脚共 46 只。问禽兽各有多少？

答案是：8 只兽、7 只禽。

术文给的算法是：脚数乘以 2，减去头数，余数除以 2，得到兽数；再用 4 乘兽数，用脚数去减，余数除以 2，得到禽数。

示意图

数学解读

照着术文算一遍

第一步：脚数翻倍减头数，再除以 2：

$$\frac{2\times46-76}{2}=\frac{92-76}{2}=\frac{16}{2}=8$$

第二步：4 乘兽数，用脚数减，再除以 2：

$$\frac{46-4\times8}{2}=\frac{46-32}{2}=\frac{14}{2}=7$$

8 只兽、7 只禽，和答曰一模一样。如果只做到这里，这道题看起来毫无问题。

多走一步：代入检验，矛盾出现了

学数学最要紧的习惯是检验。我们把答案代回题面：

脚数：$4\times8+2\times7=32+14=46$，正好 46，对得上。

头数呢？

$$6\times8+2\times7=48+14=62$$

算出来是 62 个头，不是题面说的 76 个。

再列方程组看一遍。设兽 $x$ 只、禽 $y$ 只：

$$\begin{cases} 6x+2y=76\\ 4x+2y=46 \end{cases}$$

两式相减：$2x=30$，$x=15$，再代回：$2y=46-60=-14$，$y=-7$。

禽的数量是负 7 只。 题给数据下，这道题根本没有合乎现实的解。

错在哪里：传抄中的数字颠倒

术文本身是一套成熟的"假设法"程序，和鸡兔同笼同源，算法没有错；错的是传本里的题设数字。

按答案 8 兽 7 禽反推，头数应当是：

$$6\times8+2\times7=62$$

也就是说，题面的"七十六首"应为"六十二首"——"七十六"与"六十二"两个数字位置恰好颠倒，古书靠手抄流传，这种邻位倒置是最常见的抄写错误之一。把 76 改成 62，整道题立刻严丝合缝：

$$\begin{cases} 6x+2y=62\\ 4x+2y=46 \end{cases} \Rightarrow 2x=16,\ x=8,\ y=7$$

这一讲真正要学的东西

这道题被收进《算经十书》，历代读书人照背照算，很少有人回头验算。但数学不承认权威，只承认真理：任何答案都要能代回原题通过检验。 发现"课本错了"不是冒犯经典，恰恰是认真读经典的证据。

技术上再看术文的结构："倍之、减之、半之"是一串固定的机械操作，正对应二元一次方程组的加减消元——先消去 $y$ 求出一个量，再回代求另一个量。只不过在数据正确的题里（如鸡兔同笼），这套操作直接给出答案；在这道题里，它忠实地执行了计算，反而帮我们照出了题面的毛病。算法不会骗人，不检验的人才会。

高中课本关联

• 二元一次方程组与加减消元法（初中）、数学建模中的检验环节：解出方程后必须代回实际情境检验，负数只数、矛盾数据都说明建模前提或原始数据有误。
• 算法思想（高中必修《算法初步》）：术文"倍足→减首→半之"就是顺序结构的程序语句，可画成程序框图；本题还提示我们，一个正确的程序遇到错误输入，照样会输出错误结果，所以输出检验不可省略。
• 高考数学文化题常从古算经取材，答题时既要会古法，也要敢于用现代方程核验。

思考与拓展

1. 把题面改成"六十二首、四十六足"，严格按术文重算一遍，再列方程组验证 8 兽 7 禽。
2. 若兽改为"四首四足"、禽仍为"二首二足"，上有 46 首、46 足，问禽兽各几何？列出方程组并检验。
3. 鸡兔同笼：上有 35 头、下有 94 足。试用"倍足减头"一类的假设置换术推导公式，并说明为什么这道孙子题会出现负数解、而鸡兔同笼不会。

一句话总结

经典也会有抄错的数字，照术文算出答案只是第一步；代入检验、发现矛盾、追到校勘问题，才是数学给人的真功夫。