沟渠求方——当土方计算遇上立方换算

原典

今有沟，广十丈，深五丈，长二十丈，欲以千尺作一方。问：得几何？

答曰：一千段。

术曰：置广十丈，以深五丈乘之，得五十丈；又以长乘之，得一千丈；以千尺除之，即得。

白话翻译

有一条沟，宽十丈，深五丈，长二十丈。现在要把挖出来的土筑成方块，每方用一千立方尺。问能筑多少段？

答案是：一千段。

术文给的算法是：拿宽十丈乘深五丈，得五十丈；再拿它乘长二十丈，得一千丈；最后用一千立方尺作除数除一遍，就得到答案。

第一次读术文的人几乎都会在这里卡住：$10 \times 5 = 50$、$50 \times 20 = 1000$，算出的是「一千丈」——可这是个长度单位，拿长度去除「千尺」算出来的怎么会是段数？

这一步的关窍在于：中算里「丈」可以当体积单位用，前提是前面乘出来的那个「五十丈」其实暗含了截面积。 宽乘深得到的是截面积，只是古代不另立「平方丈」这个单位，就借「丈」来记。再乘长，才补足为体积。这是中算表述的省略习惯，读的时候得自己把单位补全。

示意图

古人的算法

术文三步，拆开来看每一步在做什么。

第一步，求截面积。「置广十丈，以深五丈乘之，得五十丈」——宽十丈、深五丈，两者相乘得五十。这一步步补上单位，应是「五十平方丈」。沟渠的横截面是矩形，面积 = 宽 × 深，就是这一步。

第二步，求体积。「又以长乘之，得一千丈」——拿截面积乘沟长二十丈，得一千。补上单位，应是「一千立方丈」。

第三步，折算成方数。「以千尺除之，即得」——一方是一千立方尺，用一千立方尺作除数，去除沟渠的总体积，得到的就是能筑多少方。

把三步连起来写成今天的算式：

然后换算单位：

所以

每「方」一千立方尺，故

答曰一千段，验算相符。

这道题真正的考点不是乘法，是第三步的单位换算。 一立方丈等于一千立方尺——因为长度上一丈等于十尺，而体积是长度的三次方，所以 $10^3 = 1000$。古人没有「立方」这个抽象的幂概念，但他们用「千尺作一方」这个定义，把「一立方丈 = 一千立方尺」这个关系讲清楚了。练习这类题，练的就是长度单位与体积单位之间的立方关系。

现代数学视角

用今天的语言，这道题只涉及两件事：长方体体积，和体积单位换算。

长方体体积公式：

本题 $l = 20$ 丈、$w = 10$ 丈、$h = 5$ 丈，故 $V = 1000$ 立方丈。

体积单位换算是长度单位换算的立方，这是本题唯一值得停留的地方：

同理，如果把单位再往小走一步：一尺等于十寸，那么一立方尺等于 $10^3 = 1000$ 立方寸。凡是体积，单位之间的换算率就是长度换算率的立方。 用指数写法一眼看清：

放到工程上，这是土石方计算的标准模型。 今天修路、挖渠、平整场地，算的是挖出多少方土、运走多少方、填回去多少方，用的正是「截面积 × 长度 = 体积」，再按「方」（立方米）折算。古代的一方是一千立方尺，今天的一方是一立方米，单位换了，思路没变。区别只在：今天有 CAD 直接算不规则形状的体积，古代只能处理棱柱、堤、沟这类能切成规则截面的形体——这也是《九章算术》商功章一整章都在跟各种土堆形状较劲的原因。

高中课本关联

立体几何初步：柱体体积公式 $V = Sh$（底面积乘高），是本题的一般化。沟渠是四棱柱，底面积是矩形 $S = lw$，所以 $V = lwh$。往后学的圆柱、棱柱，体积公式都是 $V = Sh$——本题就是这个公式最朴素的来源。

幂的运算：$10^6 \div 10^3 = 10^3$、$(10)^3 = 1000$，是整数指数幂的基本运算法则。古代算家当然不写指数，但「以千尺作一方」这个定义，等价于承认了立方关系。

数列的一个小入口：如果把沟的长度一段段加长（$20$ 丈、$40$ 丈、$60$ 丈……），段数就构成等差数列：$500, 1000, 1500, \ldots$，公差正是每十丈对应的五百段。反过来，如果把每段体积缩小一半（五百立方尺、二百五十立方尺……），段数就构成等比数列。一道工程题稍作改动，就能串起两种数列。

思考与拓展

1. 算一算：本题 $V = 10 \times 5 \times 20 = 1000$ 立方丈，换算成立方尺是 $10^6$，除以一方千尺得 $1000$ 段。请把这三步完整写一遍，并说明第二步为什么乘的是 $1000$ 而不是 $10$。

2. 想一想：若沟渠上广十二丈、下广八丈（梯形截面）、深仍五丈、长二十丈，问得几段？（提示：梯形面积 $= \dfrac{\text{上广}+\text{下广}}{2} \times \text{深}$，先算截面积再乘长。）

3. 对比题：第 24 讲是堤坝，本题是沟渠。两者都属「截面积 × 长度」模型，差别在截面形状。请分别写出两题的截面积算法，并说明哪一种在古代更难算。

4. 挑战题：若每方改为五百立方尺，段数变为多少？若同时把沟深深一丈，段数又变多少？两问合起来，段数是原来的几倍？

5. 单位小实验：量一量教室里书包柜的长、宽、高（单位用厘米），算出体积；再换算成立方米，估一估大约相当于多少「方」土。

一句话总结

宽×深×长得体积，立方丈换立方尺要乘一千——沟渠求方把「体积单位是长度单位的立方」这件事，讲成了看得见的土方。