函数方程存在性

(1) $f(x)+f(2x)=-x$: $f$ 递增, $f(2x)>f(x)$, $f(x)+f(2x)=-x$, $\text{since}$ $f$ 递增, $\text{need}$ $3f(x)<-x$, 可以通过迭代构造. (1) 正确. (2) $f$ 递减, $f(2x)<f(x)$, $f(x)+f(2x)=-x$, 同理可以构造. (2) 正确. (3) $f(x)+f(-x)=\cos x$: 令 $g(x)=(\cos x)/2+h(x)$, $h$ 为任意奇函数, 有无穷多个. (3) 正确. (4) $f(x)-f(-x)=\cos x$: $\text{left}$ 为奇函数, $\text{right}$ $\text{even}$, $\text{but}$ $\cos x$ $\text{is even}$, 所以 $\cos x=\cos(-x)$, 即 $f(x)-f(-x)=f(-x)-f(x)=0$, 矛盾. (4) 错误.

答案: (1)(2)(3).