方田桑生中央——古人怎么用 7 和 5 近似根号二

原典

今有方田，桑生中央，从角至桑，一百四十七步。问：为田几何？

答曰：一顷八十三亩，奇一百八十步。

术曰：置角至桑一百四十七步，倍之，得二百九十四步，以五乘之，得一千四百七十步，以七除之，得二百一十步，自相乘，得四万四千一百步，以二百四十步除之，即得。

白话翻译

有一块正方形田地，正中央长着一棵桑树。从田地的角走到桑树，是一百四十七步。问这块田合多少亩？

答案是：一顷八十三亩，还余一百八十步。

术文给的算法是：拿「角到桑树」的一百四十七步，先加倍得二百九十四步；乘五，得一千四百七十步；除以七，得二百一十步——这就是田地的边长；边长自乘，得四万四千一百步；最后用亩法二百四十步除，得到答案。

单看术文，会完全不明白那个「乘五除七」是哪来的。 一倍、一乘、一除，三个动作做完就从「角到树的距离」跳到了「田边长」。这一步正是本节要挖的宝。

示意图

古人的算法

先把几何关系摆清楚，再看术文每一步在做什么。

设正方形田边长为 $a$，则半边边长为 $\dfrac{a}{2}$。桑树在正中央，也就是正方形中心。从任意一个角到中心的距离，等于对角线的一半。

对角线长 $a\sqrt2$，所以中心到角的距离是

题目给的就是这个数：$147$ 步。于是

要解出 $a$，必须碰 $\sqrt2$。 今天的算法直接开方：$\dfrac{294}{\sqrt2} \approx 207.89$ 步。

术文的做法不一样——它既不出现根号，也不开方，而是三步手筋：

得边长 $a = 210$ 步。接着

一顷等于一百亩，所以共 183 亩，写作「一顷八十三亩」，余 180 步。答曰验算相符。

现代数学视角

术文那个「乘五除七」，本质上是把 $\sqrt2$ 换成了一个分数。

从真实关系 $a = \dfrac{294}{\sqrt2}$ 出发，两边同乘 $\sqrt2$ 再除 2：

所以边长等于 $147\sqrt2$。术文实际算的是 $147 \times \dfrac{10}{7} = 210$，也就是它把 $\sqrt2$ 当成了

真实值 $\sqrt2 \approx 1.4142$，二者相差约 $1\%$。回头看算法，$147 \times 2 \times \dfrac{5}{7} = 147 \times \dfrac{10}{7}$——倍之、乘五、除七，三步合起来就是「乘十再除七」。

$\dfrac{10}{7}$ 这个近似不是随手拈来的。 换个角度看：半边边长 $\dfrac{a}{2} = \dfrac{147}{\sqrt2} \approx 103.9$ 步，古人算成 $147 \times \dfrac{5}{7} = 105$ 步。也就是说，他们把「中心到角的距离」与「半边边长」之比按 $7 : 5$ 处理——真实比是 $\sqrt2 : 1$，约 $1.414 : 1$，而 $7 : 5$ 是 $1.4 : 1$。用 $1.4$ 顶 $1.414$，误差约 $1\%$。

这个「用率」在古代叫勾股率。最原始的勾股率正是「3、4、5」与「5、12、13」这类整数三元组，从整数边长中总结出来，再拿来套实际问题。本题的 $7 : 5$ 属于同类工具：不要精确值，要一个好算的整数比。东汉末到三国，数学家们对这种「用率」做了系统整理，赵爽注《周髀算经》的「勾股圆方图」、刘徽的「割圆术」，都是在这条线上把近似越做越精。

估得偏大了。 真实边长 207.89，古法得 210，面积因此从 43218 平方步估成 44100，高出约 2%。对田产税赋来说，估大意味着多缴——这个偏向在实务中是敏感的。但古代算家选「偏大」而非「偏小」，可能与丈量时「宁可多算、不可漏算」的习惯有关。

高中课本关联

勾股定理：本题是勾股定理的正用——正方形半边构成等腰直角三角形，斜边就是中心到角的距离。若已知半边求斜边，正是 $147 = \dfrac{a}{2}\sqrt2$。

二次根式：$\dfrac{294}{\sqrt2} = 147\sqrt2$ 是有理化（分子分母同乘 $\sqrt2$）的标准例子。让学生先按今天的办法算，再看术文的 5/7，误差的来源立刻显形。

近似计算的精度观念：$\sqrt2 \approx \dfrac{10}{7}$、$\pi \approx \dfrac{22}{7}$、$\pi \approx \dfrac{355}{113}$——中国古代数学在「用简单分数逼近无理数」上有极漂亮的传统。祖冲之的密率 $\dfrac{355}{113}$ 精确到小数第六位，领先世界近千年。本题的 $\dfrac{10}{7}$ 正是这条线的起点。

单位与进位：1 顷 = 100 亩，1 亩 = 240 平方步。两套进位构成「顷—亩—步」三级，与今天公顷、平方米的换算形成对照。

思考与拓展

1. 算一算：按术文重算——$147 \times 2 \times 5 \div 7 = 210$，$210^2 = 44100$，$\div 240$ 得 183 余 180。再按今天的算法 $\dfrac{294}{\sqrt2}$ 求边长，两者差多少？

2. 想一想：术文为什么能绕开 $\sqrt2$？它把 $\sqrt2$ 换成了什么分数？这个分数比真值大还是小，偏多少？

3. 反问题：若已知方田边长 210 步，桑生中央，问角到桑多少步？（分别用术文的 7:5 率和今天的方法，看两个答案差几步。）

4. 挑近似：找几个分数逼近 $\sqrt2$，比一比 $1.4$、$1.41$、$1.414$、$\dfrac{17}{12}$、$\dfrac{41}{29}$ 谁更准。古人为什么选 $1.4$ 而不是更准的？（提示：好算。）

5. 税赋小讨论：本题面积估大了 2%。如果一亩税赋一石，这块田每年多缴多少石？十年多缴多少？由此谈谈「估算偏向」在实务里为什么重要。

一句话总结

147 乘 10 除 7 就得到 210 步——一次漂亮的近似，把根号二换成了一个好算的分数，这正是中国古代勾股用率的起点。