第9讲 约分——古人如何把分数"化简"到最简

原典

今有一十八分之一十二。問：約之得幾何？答曰：三分之二。

術曰：置十八分在下，一十二分在上，副置二位以少減多，等數得六為法，約之即得。

——《孙子算经·卷中》

这是孙子算经卷中的第一道题——一上来就不客气，直接教你约分。

白话翻译

把 $\frac{12}{18}$ 约成最简分数，答案是多少？答案是 $\frac{2}{3}$。

方法：把分母十八放在下面，分子十二放在上面（注意这跟我们现在"分子在上"的习惯相反），然后反复用大数减小数——十八减十二得六，再用十二减六得六，两者相等。这个相等的数就是"等数"（也就是最大公约数），用它来约分就行了。

这个算法，就是大名鼎鼎的更相减损术。

示意图

数学解读

1. 更相减损术：一种朴素却优雅的算法

孙子算经给出的术文虽然短，但背后的算法非常精妙。我们把它展开成现代语言：

给定分子 $12$ 和分母 $18$，反复做如下操作： $18 - 12 = 6, \qquad 12 - 6 = 6$

当两个数相等时（都等于 $6$），这个数就是最大公约数，古人称为"等数"。于是： $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

这个过程用现代术语来说，本质上是在求最大公约数（GCD）。

2. 与欧几里得算法的关系

两千多年后，欧几里得在《几何原本》里给出了一个类似的算法，通常称为辗转相除法：

$18 = 1 \times 12 + 6$ $12 = 2 \times 6 + 0$

余数为 $0$ 时，最后一个除数 $6$ 就是最大公约数。

中国的更相减损术用的是反复减法，西方的辗转相除法用的是除法取余。两种算法逻辑等价——减法可以看作多次除法的退化形式——但辗转相除法在实际计算中要快得多，因为一步能消掉更多位。

有趣的是，这两个算法的发明时间相差不到一百年（孙子算经约成书于公元4世纪，欧几里得《几何原本》约公元前300年），但独立发展出几乎相同的思想内核，这恰好说明：最大公约数是人类对"数的结构"最自然的理解之一。

3. "等数"这个词的精妙之处

孙子算经没有说"最大公约数"，而是说"等数"。这四个字非常传神：

• 当我们不断地用大数减小数，最终两数变得相等——这个相等的值就是等数。
• 它既是公约数（能整除原来的两个数），又是最大的——因为它已经把所有公因子都"榨干"了。

古人起名的直觉非常精准：等数，就是让两数在反复减法中"走到一起的那个相等的数"。这种以过程定义概念的方式，跟"最大公约数"这种以性质定义概念的方式，体现了不同的思维路径。

4. 约分的本质：分子分母同时除以最大公约数

从现代数学的角度来看，约分其实是一个等价类的概念：$\frac{12}{18}$ 和 $\frac{2}{3}$ 代表同一个有理数，只是表达形式不同。我们说"约到最简"，就是在所有等价的分数表达中，找一个分子分母互质（即最大公约数为 $1$）的代表。

孙子算经虽然没有明确说出"等价类"这个词，但他操作的每一步都是精确的——因为同时除以同一个非零数，分数的值不变： $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

这是分数运算最基础的守恒律，孙子时代就已经牢牢掌握。

5. 更一般的约分思路

孙子算经在卷中后面的题目里，还举了一个更复杂的例子：

今有三分之一、五分之二。问：合之二得几何？

这里需要先通分，再加法。而约分则是通分的逆过程——先把每个分数化成最简形，再找公分母做运算，这样能避免中间数字过大。这个思想在今天依然是分数计算的标配：先约后算，比先算后约更高效。

高中课本关联

① 分数运算与最简分数（必修第一册·有理数）

初中学过"约分"和"通分"，但通常只教操作步骤——"分子分母同时除以它们的最大公约数"。孙子算经给了一个很好的视角：为什么要约分？ 答案就是让分数表达最简洁，方便后续运算。高考中关于分数运算的题目，往往会在最后要求写成最简形式，这里的"最简"对应的就是孙子所说的"等数"消干净的状态。

② 最大公约数与欧几里得算法（必修第二册·数列/数论初步）

高中数学竞赛里经常出现的欧几里得算法，其实就是孙子更相减损术的现代版。两者的核心思想完全一致：若 $a > b$，则 $\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)$（辗转相除）或 $\gcd(a, b) = \gcd(b, a - b)$（更相减损）。竞赛中常见的问题如"求两个大整数的最大公约数"，用更相减损术做演示，既直观又贴近算法思维。

③ 同余与模运算（选修·数论初步）

辗转相除法背后有一个很深的结构：每次取余，其实是在做模运算。当我们说 $18 \equiv 6 \pmod{12}$，就是在说 $18$ 减去 $12$ 之后剩 $6$。孙子算经的"以少减多"本质上就是一种不断缩小的同余变换，直到余数为零（或者说两数相等）。这是通向中国剩余定理和现代数论的桥梁。

教学启示

在教"约分"的时候，建议不要只停留在"除以最大公约数"这个机械步骤上。你可以让学生亲手演算一遍更相减损术：

1. 给出一道约分题（比如 $\frac{126}{189}$）。
2. 让学生用反复减法来求最大公约数。
3. 再对比一下辗转相除法，看哪个更快。

这个过程不仅能让学生理解为什么要除以最大公约数，还能让他们体会到：数学算法从来不是唯一的一条路，不同的文化会走出不同的路径，但最终都会汇聚到同一个本质。

另外，这道题还有一个很巧妙的设计：孙子把分母放在下面、分子放在上面。这跟我们今天"分子在上"的习惯相反，但它其实更符合"被除数在前"的直觉——你总是要用大的那个数（分母）去除，对吧？在教学时提一下这个历史差异，能让学生对数学符号的系统性有更深的认识。

思考与拓展

1. 算一算：用更相减损术求 $\gcd(252, 198)$，写出每一步。再对照辗转相除法，比较两种方法的步骤数。

2. 想一想：孙子说"副置二位以少减多，等数得六为法"。如果分子分母一开始就相等（比如 $\frac{6}{6}$），"等数"直接就是分子本身，结果就是 $1$。这个边界情况说明了什么？

3. 挑战题：求 $\frac{18!}{30!}$ 约分后的最简形式。（提示：$18!$ 和 $30!$ 的最大公约数就是 $18!$，但这个结果是一个分数，试着把它写成 $\frac{1}{n}$ 的形式。）

一句话总结

最相减损求等数，约分之道在其中——孙子用最朴素的手工减法，写下了人类历史上最早的"GCD算法"，这比西方的欧几里得只晚了几百年。