孙子算经 · 第 21 讲 · 2026-10-07 · 约 10 分钟

第21讲圆窖受粟——周三径一怎样变成一次除法

圆窖下周二百八十六尺，深三丈六尺，问受粟几何？答曰一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。周长平方除以十二就是圆面积——这个「十二」从周三径一里来；除以斛法则把体积变成斛。两道除法之间，隔着中国古代对圆的理解。

原典

今有圆窖，下周二百八十六尺，深三丈六尺。问：受粟几何？

答曰：一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一。

术曰：置周二百八十六尺，自相乘得八万一千七百九十六尺，以深三丈六尺乘之，得二百九十四万四千六百五十六尺；以一十二除之，得二十四万五千三百八十八尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

白话翻译

有一个圆柱形地下粮窖，底面周长二百八十六尺，深三丈六尺（也就是三十六尺）。问这个窖能装多少斛粟米？

答案是：一十五万一千四百七十四斛，又七升加二十七分之十一升。

术文给的算法是：拿周长二百八十六尺自乘，得八万一千七百九十六尺；再乘深三丈六尺，得二百九十四万四千六百五十六尺；先用十二除它，得二十四万五千三百八十八尺；最后用斛法一尺六寸二分除，即得答案。

这道题的术文比同卷其他题给得更细：它把四次运算的中间结果全部列出（81796、2944656、245388），连最后一步的中间数都没省。周长 286 这个数展开来很大，不列中间结果，读术文的人根本没法跟上。相比之下第 20 讲数字小，术文就简略得多——中算的详略从来跟着数字大小走。

示意图

圆窖受粟：周平方、乘深、除十二、除斛法四步

图：286² = 81796，× 36 = 2944656，÷ 12 = 245388，÷ 1.62 = 151474 又 2/27 斛

古人的算法

术文四步，每步都有确切数字，可以逐一核对。

第一步，周自乘。 $286^2 = 81796$ ——术文「得八万一千七百九十六尺」。

第二步，以深乘之。 $81796 \times 36 = 2944656$ ——术文「得二百九十四万四千六百五十六尺」。

第三步，以一十二除之。

2944656 \div 12 = 245388

术文「得二十四万五千三百八十八尺」。

关键问题是：为什么偏偏除以十二？ 这是全题的数学核心，答案藏在「周三径一」里。

已知周长 $C$ ，要求圆面积 $S$ 。今天的推导是：由 $C = 2\pi r$ 得 $r = \dfrac{C}{2\pi}$ ，代入 $S = \pi r^2$ ：

S = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \frac{C^2}{4\pi}

古人取圆周率为「周三径一」，即 $\pi \approx 3$ ，代进去：

S = \frac{C^2}{4 \times 3} = \frac{C^2}{12}

「十二」正是 $4\pi$ 。 古人不会写这个代数式，但他们用一句「周三十二」的口诀，把「从周长化面积该除以几」这件事固化成了一个数。所以第三步「以一十二除之」，除出来的 245388 平方尺就是窖底面积。

第四步，以斛法除之。 斛法「一尺六寸二分」指一斛粟所占的容积：1 尺 6 寸 2 分，合 $1.62$ 立方尺。于是

N = \frac{245388}{1.62} = 245388 \times \frac{100}{162} = 245388 \times \frac{50}{81}

先约分再算更容易： $245388 \div 81 = 3030$ 余 18，不好看；直接算分子：

\frac{245388 \times 50}{81} = \frac{12269400}{81}

12269400 \div 81 = 151474 \quad \text{余} \quad 12269400 - 151474 \times 81 = 6

所以

N = 151474 \frac{6}{81} = 151474 \frac{2}{27}\ \text{斛}

余下的 $\dfrac{2}{27}$ 斛要换成斗升，才是答曰的样子。 1 斛 = 10 斗，1 斗 = 10 升：

\frac{2}{27}\ \text{斛} \times 10 = \frac{20}{27} = 0\ \text{斗} \quad \text{余} \quad \frac{20}{27}\ \text{斗}

不够一斗，于是直接折成升：

\frac{20}{27}\ \text{斗} \times 10 = \frac{200}{27} = 7\ \text{升} \quad \text{余} \quad \frac{11}{27}\ \text{升}

合起来正是一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一——与答曰一字不差。

现代数学视角

用今天的记号，这道题可以写成一个式子：

V = \frac{C^2 h}{12}, \qquad N = \frac{V}{1.62}

代入 $C = 286$ 、 $h = 36$ ：

V = \frac{286^2 \times 36}{12} = 286^2 \times 3 = 81796 \times 3 = 245388\ \text{立方尺}

注意这里可以约： $\dfrac{36}{12} = 3$ ，所以「乘深再除十二」等价于「周平方乘三」。古人先乘后除，是因为筹算上先得出大数再除更稳妥；今天用纸笔，先约后算更省事。两种算法等价，选择取决于工具。

如果用真 $\pi$ 重算： $\pi \approx 3.14159$ ，则

V = \frac{286^2}{4\pi} \times 36 = \frac{81796 \times 36}{4 \times 3.14159} = \frac{2944656}{12.56636} \approx 234337\ \text{立方尺}

比古法的 245388 少了约 $4.5\%$ ——因为古率 $\pi = 3$ 偏小，分母 $4\pi$ 偏小，除出来的面积偏大。对粮窖这种「最多能装多少」的问题，估大了反而是安全的：实际容量略小于估算，不会出现「以为装得下结果装不下」的事故。古人选 $\pi = 3$ 未必是不知道更准的值，而是工程上够用且偏保守。

那个 $\dfrac{2}{27}$ 从哪来：除以 $1.62$ 等于乘 $\dfrac{50}{81}$ ，分母里的 81 是关键。 $12269400$ 除以 81 余 6，约成 $\dfrac{2}{27}$ 。如果斛法是个整数（比如一斛合一百立方尺），就不会拖这么长的尾巴。 中算书里既有 018 这种「除出个二十七分之二」的题，也有第 20 讲那种「处处整除」的题——后者是编题时特意凑的，前者更像是实务中真实会遇到的情形。

高中课本关联

圆柱体积：本题是 $V = Sh = \pi r^2 h$ 的最早应用之一，只不过把 $\pi$ 取成 3、把 $h$ 记成「深」、把容积单位换成斛。今天教材同样从这个公式出发，只是多了「求倒数第二项 V 与 S 的关系」这类变式。

数学文化题：高考中出现过给古文让考生列式的题型（例如 2019 年的一维周期数列题引自《荀子》，2021 年有题引《九章算术》）。本题的结构——古文 + 古文 + 古文答案，正是这类题的素材原型。能不能把「周三径一」翻译成 $\pi = 3$ ，就是答题的第一道门槛。

分数的单位换算： $\dfrac{2}{27}$ 斛 $\to$ 7 升又 $\dfrac{11}{27}$ 升，一路乘十取整。这条链练的是「分数在不同单位间传递」，与高中数学的「异名数运算」相通。

误差与近似：古率与密率相差 $4.5\%$ ，可以用来讨论「近似值的选取标准」。同一个问题，取 $\pi = 3$ 估大、取 $\pi = 3.1416$ 估准，各有适用场景——这正是工程估算与精密的区别。

思考与拓展

算一算：按术文四步完整算一遍： $286^2$ 、 $\times 36$ 、 $\div 12$ 、 $\div 1.62$ ，核对每一步是否得术文所列的数（81796、2944656、245388、151474 又 2/27）。
想一想：术文第三步「以一十二除之」的十二是怎么来的？若取 $\pi = 3.14$ ，该除以多少？请写出一般公式 $\dfrac{C^2}{4\pi}$ 并说明。
比一比：用 $\pi = 3.14159$ 重算本题体积，与古法 245388 立方尺相差多少？相对误差是百分之几？为什么这个误差对粮窖来说「偏安全」？
换形状：若粮窖底面是正方形、周长同样 286 尺，深仍 36 尺，问得几斛？（提示：正方形边长 $= 286 \div 4$ ，体积不需除十二。）
拆分数：把 $151474\dfrac{2}{27}$ 斛拆成答曰的斛升形式。为什么 $\dfrac{2}{27}$ 斛连一斗都不到？斗、升的十进制在这里起了什么作用？

一句话总结

一次平方、一次乘法、两次除法——「除十二」是周三径一，「除斛法」是从体积到容量，两千多年前的筹算把圆柱粮窖算到了二十七分之一升。

— Y. · 2026-10-07

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