三人持钱——一场对话解出的三元方程组

原典

今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱半以益我，钱成九十。乙复语甲丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成七十。丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六。问：三人元持钱各若干？

答曰：甲七十二，乙三十二，丙四。

术曰：先置三人所语为位，以三乘之，各为积，甲得二百七十，乙得二百一十，丙得八十四，又置甲九十，乙七十，丙五十六，各半之，以甲乙减丙，以甲丙减乙，以乙丙减甲，即各得元数。

白话翻译

甲乙丙三人各持一些钱。甲对乙、丙说：把你们两人钱数的一半加给我，我就有九十文。乙对甲、丙说：把你们两人钱数的一半加给我，我就有七十文。丙对甲、乙说：把你们两人钱数的一半加给我，我就有五十六文。问三人原本各持多少？

答案是：甲七十二文，乙三十二文，丙四文。

术文的算法是：先把三人说的话各自乘三，得甲二百七十、乙二百一十、丙八十四；再把 90、70、56 各取一半，用「甲乙减丙、甲丙减乙、乙丙减甲」的方式相减，就得到三人的原钱数。

这段术文极其凝练，几乎没法直接读懂。 但把它翻成今天的方程，一切水落石出。

示意图

古人的算法

先把三句话翻成数学语言。设甲、乙、丙原有钱数为 $A$、$B$、$C$。

甲说「你们俩的一半加给我，我有九十」：

$$A + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90 \qquad (1)$$

乙、丙同理：

$$B + \frac{A}{2} + \frac{C}{2} = 70 \qquad (2)$$ $$C + \frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 56 \qquad (3)$$

关键操作：三式相加。 左边每个变量各出现三次（一次作为自己，两次作为别人的一半），所以

$$(A + B + C) + \frac{1}{2}(A+B+C) + \frac{1}{2}(A+B+C) = 2(A+B+C)$$

等等——仔细数：$A$ 在
(1) 出现一次（系数 1）、在
(2) 出现 $\frac{1}{2}$、在
(3) 出现 $\frac{1}{2}$，共 $1 + \frac12 + \frac12 = 2$ 次。同理 $B$、$C$ 也各出现 2 次。所以

$$2(A+B+C) = 90 + 70 + 56 = 216$$ $$A + B + C = 108$$

术文「以三乘之，得二百七十」——不对吧？$90 \times 3 = 270$。啊，这就是术文的另一条路：它把每句话乘 3，得到的是

$$3A + \frac{3}{2}B + \frac{3}{2}C = 270$$

整理：$3 \times (A + \frac{B+C}{2}) = 270$，即 $3A + \frac{3}{2}(B+C) = 270$。这其实是「三倍后的方程」，用来消去分母（原始式子里有 $\frac12$，乘 2 或乘 3 都能化整）。

术文接着说「各半之，以甲乙减丙，以甲丙减乙，以乙丙减甲」。换成今天的话：

第一步，求总数。 由
(1)
(2)(3) 相加（或等价地，把 270、210、84 相关信息代入）：

$$A + B + C = 108$$

第二步，逐人求解。 拿总数减去「另外两人的一半之和」：

由
(1)：$A + \frac{108 - A}{2} = 90$，即 $A + 54 - \frac{A}{2} = 90$，故 $\frac{A}{2} = 36$，$A = 72$。

由
(2)：$B + 54 - \frac{B}{2} = 70$，$\frac{B}{2} = 16$，$B = 32$。

由
(3)：$C + 54 - \frac{C}{2} = 56$，$\frac{C}{2} = 2$，$C = 4$。

验证：$72 + 32 + 4 = 108$ ✓

代入
(1)：$72 + \frac{32+4}{2} = 72 + 18 = 90$ ✓ 代入
(2)：$32 + \frac{72+4}{2} = 32 + 38 = 70$ ✓ 代入
(3)：$4 + \frac{72+32}{2} = 4 + 52 = 56$ ✓

三式全合，答案无误。

现代数学视角

这是最标准的三元一次方程组，今天初中就学：

$$\begin{cases} A + \frac{1}{2}B + \frac{1}{2}C = 90 \\ \frac{1}{2}A + B + \frac{1}{2}C = 70 \\ \frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B + C = 56 \end{cases}$$

解法的现代版：先化整（各乘 2），再用加减消元：

$$\begin{cases} 2A + B + C = 180 \\ A + 2B + C = 140 \\ A + B + 2C = 112 \end{cases}$$

三式相加：$4(A+B+C) = 432$，故 $A+B+C = 108$。

分别用第一式减第二式……等等，这里更简洁：第一式减去「$A+B+C=108$」，得 $A = 72$；第二式减总数，得 $B = 32$；第三式减总数，得 $C = 4$。

术文的「以三乘之」是另一条路：它没把分数化掉，而是直接乘 3——这让人想到矩阵的初等变换。术文随后的「各半之，以甲乙减丙……」，翻译过来正是加减消元法：用一个方程减另一个方程，消去一个未知量。

值得一提的是线性结构：方程组的系数矩阵

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 & 1 \end{pmatrix}$$

是「对角线为 1、其余为 $\frac12$」的对称矩阵，三式相加时每列的和恰好是 2，所以总数立即可得。古人不懂矩阵，但他们挑的这道题，结构上是最容易解的那一类。

高中课本关联

三元一次方程组：高中数学学业水平考试要求掌握。本题是「三句话列三式」的完整范例——从文字到方程这一步，恰是学生的难点。

方程思想：「设未知数、列方程、解方程、验算」四步，本题一样不少。验算尤其重要：三个答案都要代回原话检查。

对称结构：方程组系数对称，解法因此可以很简洁。今天讲「利用对称性简化计算」，本题是最好的例子——三式相加是标准动作。

古算与代数的对照：《九章算术》「方程」章是世界上最早的系统线性方程组解法，比印度早 600 年、比欧洲早 1000 多年。让学生了解这条脉络，能具体感受到中国古代数学的高度。

思考与拓展

1. 算一算：设甲、乙、丙为 $A$、$B$、$C$，列出三个方程；化整后相加求 $A+B+C=108$；再分别求出 72、32、4；最后代回三句话逐一验证。

2. 换数字：若三句话分别为「成一百」「成八十」「成六十」，问三人原持多少？（提示：$A+B+C = \dfrac{(100+80+60)\times 2}{4}$，再用同样方法。）

3. 改条件：若甲说「把你们俩全部给我」（而非一半），我有一百，其他两句不变，方程组如何变化？还好解吗？

4. 四人版：若加入丁，丁说「把你们仨的一半给我，我有四十」，其他三人话语不变，能否仍用「相加」的技巧快速求出四人总和？

5. 验算练习：只给你答案 72、32、4，请代回三句话，说明它们为什么满足条件。若把 72 改成 70，哪一句话会不成立？

一句话总结

三句话、三个方程、一次相加、三次相减——两千年前的算家已经会解三元一次方程组，而且解得比今天的标准解法还简洁。