术名：卷下·第27题——方程术的实战范本

原文

今有甲乙二人持钱，各不知数。甲得乙中半，可满四十八；乙得甲大半，亦满四十八。问：甲乙二人元持钱各几何？

答曰：甲持钱三十六，乙持钱二十四。

术曰： 如方程求之，置二甲一乙钱九十六于右方，置二甲三乙钱一百四十四于左方，以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八钱；以左方二乘右方，上得四，中得二，下得九十六；以右行再减左行，左上空，中余四，以为法，下余九十六钱，为实；上法下实，得二十四钱，为乙钱，以减右下九十六，余七十二为实，以右上二甲为法，上法下实，得三十六为甲钱也。

白话翻译

甲、乙两人各有若干钱，不知道具体数目。如果甲得到乙的一半，就恰好有四十八钱；如果乙得到甲的三分之二（"大半"），也恰好有四十八钱。问：甲、乙原来各有多少钱？

答：甲原来有三十六钱，乙原来有二十四钱。

术文说： 用方程术来求解。把"2份甲 + 1份乙 = 96钱"放在右行，把"2份甲 + 3份乙 = 144钱"放在左行。用右行的系数2乘左行，上面得4，中间得6，下面得288钱；用左行的系数2乘右行，上面得4，中间得2，下面得96钱。用右行反复减去左行，左行上面变为空（0），中间余下4作为法，下面余下96钱作为实。用法去除实，得24钱，就是乙的钱数。用24减去右下方的96，余下72作为实，用右行上面的2份甲作为法，用法去除实，得36，就是甲的钱数。

示意图

数学解读

一、建立方程组

设甲持钱 $x$，乙持钱 $y$。

"甲得乙中半，可满四十八"：甲得到乙的一半，即 $x + \frac{y}{2} = 48$

"乙得甲大半，亦满四十八"："大半"在古代指三分之二，即 $y + \frac{2x}{3} = 48$

将两式去分母，化为整数方程：

第一式乘以2： $2x + y = 96 \qquad (1)$

第二式乘以3： $2x + 3y = 144 \qquad (2)$

二、现代解法（加减消元法）

用方程(2)减去方程(1)： $(2x + 3y) - (2x + y) = 144 - 96$ $2y = 48$ $y = 24$

将 $y = 24$ 代入方程(1)： $2x + 24 = 96$ $2x = 72$ $x = 36$

验证：

• 甲得乙中半：$36 + \dfrac{24}{2} = 36 + 12 = 48$ ✓
• 乙得甲大半：$24 + \dfrac{2 \times 36}{3} = 24 + 24 = 48$ ✓

三、古术逐句解释

"置二甲一乙钱九十六于右方"

将方程 $2x + y = 96$ 的系数和常数项用算筹摆在右行：上面是甲的系数2，中间是乙的系数1，下面是常数96。

"置二甲三乙钱一百四十四于左方"

将方程 $2x + 3y = 144$ 摆在左行：上面是甲的系数2，中间是乙的系数3，下面是常数144。

"以右方二乘左方，上得四，中得六，下得二百八十八钱"

用右行甲的系数2乘以左行的每一项：

• 上面：$2 \times 2 = 4$
• 中间：$2 \times 3 = 6$
• 下面：$2 \times 144 = 288$

"以左方二乘右方，上得四，中得二，下得九十六"

用左行甲的系数2乘以右行的每一项：

• 上面：$2 \times 2 = 4$
• 中间：$2 \times 1 = 2$
• 下面：$2 \times 96 = 192$

（术文此处"下得九十六"应为"下一百九十二"之误，据计算当为192。）

"以右行再减左行，左上空，中余四，以为法，下余九十六钱，为实"

用右行减去左行（消去甲的项）：

• 上面：$4 - 4 = 0$（"空"）
• 中间：$6 - 2 = 4$（"法"）
• 下面：$288 - 192 = 96$（"实"）

得到 $4y = 96$。

"上法下实，得二十四钱，为乙钱"

用法除实：$y = \dfrac{96}{4} = 24$，即乙的钱数。

"以减右下九十六，余七十二为实，以右上二甲为法，上法下实，得三十六为甲钱也"

用乙的钱数24代入右行方程 $2x + y = 96$： $2x = 96 - 24 = 72$ $x = \dfrac{72}{2} = 36$

即甲的钱数为36。

四、古今对照验证

步骤	古代方程术	现代代数法	结果
列方程	置二甲一乙于右，二甲三乙于左	$2x+y=96$，$2x+3y=144$	一致
消元	以右方二乘左方，以左方二乘右方，相减	$(2)-(1)$ 消去 $x$	一致
求乙	中余四为法，下余九十六为实，得二十四	$2y=48$，$y=24$	一致
求甲	减右下九十六，余七十二，以二甲为法，得三十六	$2x=72$，$x=36$	一致

五、背景与中西比较

本题的"方程术"源自《九章算术》第八章"方程"，是世界上最早的线性方程组系统解法。其核心是"遍乘直除"——通过乘以适当系数再相减，逐步消元。

这与现代线性代数中的高斯消元法在原理上完全一致。不同的是，中国古代用算筹排列成矩阵形式进行操作，而现代用符号和矩阵记号。

时间线对比：

• 中国《九章方程术》：约公元前1世纪
• 高斯消元法（命名）：19世纪

中国古人早于西方约1800年就已经掌握了线性方程组的系统解法，只是表达方式不同。

高中课本关联

知识点： 人教版高中数学必修第二册·第八章"二元一次方程组"

高考考法：

1. 传统文化背景题：以古代数学典籍为背景，列出方程组求解，考查数学文化素养。
2. 方程组应用题：将实际问题抽象为二元一次方程组，考查建模能力。
3. 算法初步：方程术的程序化思想与算法框图结合，考查逻辑推理。

典型题型：

《九章算术》中的"方程术"相当于现代的（　） A. 代入消元法　B. 加减消元法　C. 配方法　D. 因式分解法

答案：B

思考与拓展

1. 若将题目改为"甲得乙中半，可满四十八；乙得甲中半，亦满四十八"，问甲乙各持钱多少？

2. "大半"在古代数学中通常指三分之二。若将"大半"改为"少半"（三分之一），方程组变为 $x + \dfrac{y}{2} = 48$，$y + \dfrac{x}{3} = 48$，求甲乙各持钱多少？

3. 本题术文中提到"以右行再减左行"，"再"字暗示可能需要多次相减。若方程组的系数不便于一次消元，应如何操作？试以方程组 $\begin{cases} 3x + 2y = 23 \\ 2x + 3y = 22 \end{cases}$ 为例说明。

一句话总结

本题是方程术的标准范例：通过算筹的"遍乘直除"实现消元，将二元问题化为一元求解，其程序化思想与现代高斯消元法一脉相承，展现了中国古代数学的算法化特征。