卷下·第28题：百鹿入城——盈不足术的经典应用

原文

今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽。问：城中家几何？

答曰：七十五家。

术曰：以盈不足取之，假令七十二家鹿不尽四，令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上，盈四于右下，置九十于左上，不足二十于左下，维乘之所得并为实，并盈不足为法，除之，即得。

白话翻译

现在有一百只鹿运进城里，如果每家分一只鹿，分不完（还有剩余）；再让三家合分一只鹿，恰好分完。问：城里一共有多少家？

答案是七十五家。

古人的算法是这样的：用盈不足术来解。先假设城里有七十二家，这样鹿会多出四只（盈四）；再假设城里有九十家，这样鹿会少二十只（不足二十）。把七十二放在右上角，盈四放在右下角；把九十放在左上角，不足二十放在左下角。交叉相乘（维乘），把乘积相加作为"实"，把盈和不足相加作为"法"，用实除以法，就得到答案。

示意图

数学解读

一、现代解法：列一元一次方程

设城中有 $x$ 家。每家先取一只鹿，共取走 $x$ 只；剩下的鹿按"三家共一鹿"分配，即每家再取 $\dfrac{1}{3}$ 只，共取走 $\dfrac{x}{3}$ 只。两次取完恰好分完一百只鹿，于是：

$x + \frac{x}{3} = 100$

合并得：

$\frac{4x}{3} = 100$

解得：

$x = 75$

城中有七十五家。验证：七十五家每家取一只，取走七十五只，余二十五只；三家共一鹿，七十五家需二十五只，恰好分完。与题意完全吻合。

二、古术逐句解释

「以盈不足取之」——明确方法：用盈不足术求解。盈不足术的核心思想是：先做两次假设，一次偏多（盈），一次偏少（不足），再通过交叉相乘加权平均，锁定真实值。

「假令七十二家鹿不尽四」——第一次假设：假设有七十二家。每家取一只，取走七十二只，余二十八只；三家共一鹿，七十二家需 $72 \div 3 = 24$ 只。二十八只比二十四只多出四只，所以"鹿不尽四"，即盈四。

「令之九十家鹿不足二十」——第二次假设：假设有九十家。每家取一只，取走九十只，余十只；三家共一鹿，九十家需 $90 \div 3 = 30$ 只。十只比三十只少二十只，所以"鹿不足二十"，即不足二十。

「置七十二于右上，盈四于右下，置九十于左上，不足二十于左下」——这是算筹的摆放位置。四个数摆成一个方阵：

$\begin{array}{cc} 90 & 72 \\ 20 & 4 \end{array}$

左上九十、右上七十二、左下不足二十、右下盈四。

「维乘之所得并为实」——"维乘"即交叉相乘。右上乘左下：$72 \times 20 = 1440$；左上乘右下：$90 \times 4 = 360$。相加得实：$1440 + 360 = 1800$。

「并盈不足为法」——把盈和不足相加：$4 + 20 = 24$，作为法（除数）。

「除之，即得」——实除以法：$1800 \div 24 = 75$。城中有七十五家。

三、古今对照验证

步骤	古术	现代计算
假设一	七十二家，盈四	$72 + 72/3 = 96$，$100 - 96 = 4$
假设二	九十家，不足二十	$90 + 90/3 = 120$，$120 - 100 = 20$
维乘	$72 \times 20 + 90 \times 4$	$1440 + 360 = 1800$
并盈不足	$4 + 20$	$24$
相除	$1800 \div 24$	$75$

古术答案七十五家，与现代方程解完全一致。

四、盈不足术的本质：线性插值

盈不足术的公式可以写成一般形式。设两次假设为 $a_1, a_2$，对应误差为 $b_1$（盈）、$b_2$（不足），则：

$x = \frac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 + b_2}$

这其实就是线性插值（linear interpolation），也叫假位法（false position）。其原理是：假设真实值与误差成线性关系，用两个已知点确定一条直线，再求零点。

代入本题：$a_1 = 72, b_1 = 4, a_2 = 90, b_2 = 20$：

$x = \frac{72 \times 20 + 90 \times 4}{4 + 20} = \frac{1800}{24} = 75$

五、背景与中西比较

盈不足术在《九章算术》第七章已有系统论述，《孙子算经》此题是其典型应用。这种方法在西方被称为"假位法"，古埃及纸草书（约公元前1650年）中已有类似算法，古希腊也有使用。但中国的盈不足术更为成熟和系统化，且能处理"两盈""两不足""盈不足"等多种情形，比西方同类方法早数百年。

值得注意的是，本题古人没有列方程，而是通过两次假设加交叉相乘直接得到答案。这体现了中国古代数学"以算为主"的特点：不追求符号化的代数表达，而是通过固定的算法程序（术）解决问题。这种算法化思想，与现代计算机的"程序化求解"有异曲同工之妙。

高中课本关联

1. 一元一次方程（初中）：本题可直接列方程 $x + \dfrac{x}{3} = 100$ 求解，是方程思想的经典应用。

2. 算法初步（高中必修）：盈不足术是一种完整的算法——输入两个假设值，经过固定的计算步骤（交叉相乘、相加、相除），输出答案。这与现代算法的"输入—处理—输出"结构完全一致。高考中程序框图题常考此类算法思想。

3. 线性插值与函数思想：盈不足术的本质是用一次函数近似求解。在高中数学中，二分法求方程近似解（必修一）与盈不足术思想相通：都是通过不断缩小区间来逼近真实值。

4. 数学文化：高考数学文化题常涉及《九章算术》《孙子算经》等经典，理解盈不足术的原理有助于应对此类题目。

思考与拓展

练习一：若题目改为"今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又四家共一鹿，适尽。问：城中家几何？"请用现代方程和盈不足术两种方法求解。

提示：设 $x$ 家，则 $x + \dfrac{x}{4} = 100$，解得 $x = 80$。用盈不足术可假设七十二家和九十家，计算盈与不足，再交叉相乘验证。

练习二：盈不足术的公式 $x = \dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 + b_2}$ 与今天的线性插值公式有何联系？请从函数图像的角度解释：为什么两个假设点的误差可以"加权平均"得到真实值？

提示：把误差看作假设值的函数 $f(a) = \text{假设}a\text{家时鹿的盈亏}$，则 $f(a_1) = b_1$（盈），$f(a_2) = -b_2$（不足）。假设 $f$ 是线性函数，求 $f(x) = 0$ 的点，即为所求。

练习三：已知盈不足术的两次假设为七十二家（盈四）和九十家（不足二十），能否反推出总鹿数？如果总鹿数不是百鹿，而是其他数值，盈不足术的答案会如何变化？

提示：设总鹿数为 $N$。七十二家时，$72 + 24 = 96$，盈 $N - 96 = 4$，得 $N = 100$。九十家时，$90 + 30 = 120$，不足 $120 - N = 20$，得 $N = 100$。两个假设相互印证，总鹿数确为一百。

一句话总结

百鹿入城问题用盈不足术两步假设、交叉相乘，不列方程便锁定七十五家——这是中国古代算法化数学的典范，其本质与现代线性插值一脉相承。