屋基砌砖：归一问题——从面积到总数的经典算法

原文

今有屋基，南北三丈，東西六丈，欲以磚瓦砌之，凡積二尺，用磚五枚。問：計幾何？

答曰：四千五百枚。

術曰：置東西六丈，以南北三丈乘之，得一千八百尺；以五乘之，得九千尺；以二除之，即得。

白话翻译

现在有一座房屋地基，南北宽三丈，东西长六丈，打算用砖瓦铺砌。每铺满二平方尺的面积，需要用到五枚砖。问：一共需要多少枚砖？

答：四千五百枚。

术文说：列出东西方向的长度六丈，乘以南北方向的三丈，得一千八百平方尺；再用五去乘，得九千尺；最后以二除之，就得到结果。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

这道题的核心是"归一"思想：先求出总面积，再根据单位面积的用量推算总量。

第一步：单位换算

题目给出的丈尺单位需要统一。按中国古代度量衡制度，一丈等于十尺：

$$\text{东西长度} = 6 \text{丈} = 6 \times 10 = 60 \text{尺}$$ $$\text{南北宽度} = 3 \text{丈} = 3 \times 10 = 30 \text{尺}$$

第二步：计算地基面积

屋基为矩形，面积等于长乘宽：

$$S = 60 \times 30 = 1800 \text{（平方尺）}$$

第三步：归一计算总砖数

已知"凡积二尺，用砖五枚"，即每 $2$ 平方尺需要 $5$ 枚砖。

总砖数 = 总面积 ÷ 单位面积 × 单位面积用砖数：

$$N = 1800 \times \frac{5}{2} = 1800 \times 5 \div 2 = 9000 \div 2 = 4500 \text{（枚）}$$

二、古术逐句解释

术文以筹算的视角，将运算步骤逐一展开：

"置东西六丈，以南北三丈乘之，得一千八百尺"

"置"是筹算术语，意为"摆放、列出"。先列出东西长度六丈，再用南北三丈去乘。这里有一个隐含的换算：六丈乘三丈，得十八平方丈。但古人直接以"尺"来表达结果，即 $60 \times 30 = 1800$ 平方尺。术文省略了丈换算为尺的中间步骤，直接给出以尺为单位的面积。

"以五乘之，得九千尺"

用五去乘面积一千八百尺。这一步的数学含义是：如果每 $1$ 平方尺用 $5$ 枚砖，那么 $1800$ 平方尺就需要 $1800 \times 5 = 9000$ 枚。但实际是每 $2$ 平方尺用 $5$ 枚，所以还需要下一步。

"以二除之，即得"

用二去除九千，得到最终结果四千五百。这一步修正了上一步的"假设"——因为实际是每 $2$ 平方尺用 $5$ 枚，所以要把 $9000$ 除以 $2$，得到真正的总砖数。

三、古今对照验证

步骤	古术表述	现代算式	数值
1	置东西六丈，以南北三丈乘之	$60 \times 30$	1800 平方尺
2	以五乘之	$1800 \times 5$	9000
3	以二除之	$9000 \div 2$	4500 枚

古今算法完全一致，都是"面积 × 单位用量 ÷ 单位面积"的归一模型。

四、归一术的数学本质

"归一"是中国古代数学的核心方法之一，其逻辑是：先求出"一份"是多少，再推算"多份"是多少。本题的"归一"路径是：

$$\text{总面积} \xrightarrow{\div 2} \text{共有多少个"2平方尺"} \xrightarrow{\times 5} \text{总砖数}$$

或者等价地：

$$\text{总面积} \xrightarrow{\times 5} \text{假设每1平方尺用5砖的总量} \xrightarrow{\div 2} \text{实际总砖数}$$

术文采用的是后一种路径，先乘后除，这在筹算中更为便捷——乘法运算比除法更容易操作。

五、中西比较

归一问题在世界各文明中都有出现。古希腊《几何原本》侧重于几何证明，较少涉及此类实用算术。古埃及莱茵德纸草书（约公元前1650年）中有大量比例分配问题，与归一思想相通。

古印度《阿利耶毗陀历书》（公元499年）中也有类似的工程计算。但《孙子算经》（约公元400年）的表述更为系统，术文以明确的算法步骤呈现，体现了中国古代数学"算法化"的特征。

高中课本关联

本题对应高中数学多个知识点：

1. 算法初步（必修3）

术文本身就是一段完整的算法描述，可以转化为程序框图：

• 输入：长 $a=60$，宽 $b=30$，单位面积 $c=2$，单位用量 $d=5$
• 计算：$S = a \times b$，$N = S \times d \div c$
• 输出：$N$

2. 比例与归一问题

本题是经典的"归一问题"，与小学数学中的归一应用题一脉相承，但在高中阶段可以上升到函数模型 $y = kx$ 的理解——总砖数与总面积成正比例关系，比例系数 $k = \frac{5}{2}$。

3. 高考考法

高考中常以数学文化题的形式出现，给出古代数学文献原文，要求考生理解题意并计算。解题关键是准确翻译古文、识别数学模型。

思考与拓展

题目一：

若屋基改为南北四丈、东西五丈，每三平方尺用砖七枚，问需砖多少枚？

题目二：

今有圆田，直径二丈，欲以砖铺之。凡积三尺，用砖四枚。问：用砖几何？（取圆周率为三）

题目三：

《孙子算经》本题术文说"得一千八百尺"，但严格来说面积单位应为"平方尺"。你认为古人为什么直接用"尺"来表示面积？这反映了古代数学怎样的表达习惯？

一句话总结

屋基砌砖以归一术为核心，通过"面积 × 单位用量 ÷ 单位面积"的三步运算，将实际问题转化为精确的数学计算，展现了中国古代数学算法化、程序化的独特风格。