粟米之法：一斗粟换多少糲米——古人的比例换算

原文

今有粟一斗。問：為糲米幾何？

答曰：六升。

術曰：置粟一斗十升，以糲米率三十乘之，得三百升為實，以粟率五十為法，除之，即得。

——《孙子算经·卷中》

白话翻译

现在有一斗粟。问：能换得多少糲米？

答：六升。

方法：把一斗粟换算成十升，用糲米率 30 去乘它，得到 300 升作为被除数（实），用粟率 50 作为除数（法），相除就得到答案。

示意图

数学解读

1. 这道题在问什么？

这是一道物品互换问题：把一种粮食（粟，即带壳的谷子）换成另一种粮食（糲米，即脱壳后的米），按什么比例换？

题目只问了一步：一斗粟能换多少糲米。但背后的原理是"粟米之法"——《孙子算经》卷中专门有一组题目讲各种粮食之间的换算比率。

核心概念是"率"。粟率 50、糲米率 30，意思是：50 份粟 = 30 份糲米（在价值或数量上相当）。

2. 现代解法：比例的直接应用

用今天的数学语言，这是一道正比例问题。

已知：粟率 50，糲米率 30。

$\text{粟} : \text{糲米} = 50 : 30$

化简比例：

$\text{粟} : \text{糲米} = 5 : 3$

也就是说，每 5 份粟能换 3 份糲米。

现有 1 斗粟。1 斗 = 10 升，所以：

$\text{糲米} = 10 \times \frac{30}{50} = 10 \times \frac{3}{5} = 6 \text{（升）}$

答案：六升。

3. 古术逐句解释：筹算怎么操作？

孙子的术文是：

置粟一斗十升

把"一斗"换算成"十升"。这是单位换算——粟 1 斗 = 10 升。在算筹上布置"10"。

以糲米率三十乘之，得三百升為實

用 30 乘以 10，得 300。这个 300 叫做"实"（被除数）。

这一步的含义是：如果"率"是 30 的东西有 10 份，那么对应的总量是 300。

以粟率五十為法

把 50 作为"法"（除数）。

除之，即得

$300 \div 50 = 6$。

答案：6 升。

4. 古今对照：算法完全一致

把孙子的术文写成现代公式：

$\text{糲米量} = \frac{\text{粟量} \times \text{糲米率}}{\text{粟率}}$

代入数值：

$\text{糲米量} = \frac{10 \times 30}{50} = \frac{300}{50} = 6 \text{（升）}$

与现代解法完全一致。

孙子的算法结构是：

$\text{答案} = \frac{\text{已知量} \times \text{所求物率}}{\text{已知物率}}$

这正是正比例公式的古代表达。

5. "率"的数学意义

"率"这个概念在中国古代数学中非常重要。它本质上就是单位换算因子或比例系数。

粟率 50、糲米率 30，可以理解为：

• 粟的"单位价值"是 50（或者说，1 份粟值 50 个"标准单位"）
• 糲米的"单位价值"是 30

那么，50 份粟 = 30 份糲米，即两者的"总价值"相等。

这种思想在今天看来就是比例的基本性质：

$\frac{\text{粟量}}{\text{糲米量}} = \frac{\text{糲米率}}{\text{粟率}} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$

6. 历史背景：粟米之法

《孙子算经》卷中有一个"粟米之法"的总表，列出了各种粮食的"率"：

粮食	率
粟	50
糲米	30
粺米	27
糳米	24
御米	21
……	……

有了这个表，任意两种粮食之间的互换都可以用同一个算法：

$\text{所求量} = \frac{\text{已知量} \times \text{所求物率}}{\text{已知物率}}$

这种系统化的比率算法，在中国古代数学中称为"今有术"（又称"今有比率术"），在《九章算术》中有更详细的展开。

从世界数学史角度看，这种系统化的比率算法，中国比欧洲早了一千多年。欧洲直到中世纪后期，才在商业算术中发展出类似的"三率法"（Rule of Three）。

高中课本关联

① 正比例函数（必修第一册·函数）

这道题的核心就是正比例关系：$y = kx$，其中 $k = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$。

粟量 $x$ 与糲米量 $y$ 成正比：$y = \frac{3}{5}x$。当 $x = 10$ 时，$y = 6$。

这是正比例函数最直观的实际应用之一。

② 有理数的乘除法（必修第一册·有理数）

术文中的计算 $10 \times 30 \div 50 = 6$，涉及有理数的乘除混合运算。在教学中，可以借此让学生体会：有理数的运算不是抽象的符号操作，而是解决实际问题的工具。

③ 单位换算（必修第一册·集合与常用逻辑用语）

"置粟一斗十升"涉及容量单位的换算：1 斗 = 10 升。这是单位换算的古代版本。在高中物理和数学中，单位换算是基本技能，这道题可以作为一个历史素材，让学生感受"统一单位"的重要性。

思考与拓展

1. 算一算：如果有粟二斗五升，能换多少糲米？（提示：2 斗 5 升 = 25 升，$25 \times 30 \div 50 = 15$ 升）

2. 想一想：如果反过来，已知糲米 6 升，能换多少粟？用同样的方法做一做，看看结果是不是 1 斗。（提示：$\text{粟量} = \frac{6 \times 50}{30} = 10$ 升 = 1 斗）

3. 挑战题：根据"粟米之法"的表格，粟率 50、粺米率 27。如果有粟 3 斗，能换多少粺米？（提示：3 斗 = 30 升，$30 \times 27 \div 50 = 16.2$ 升 = 16 升 2 合）

一句话总结

"粟米之法"用率建立了物品互换的比例关系——算法 $\text{答案} = \frac{\text{已知量} \times \text{所求率}}{\text{已知率}}$ 就是今天的正比例公式，中国古人早在一千五百多年前就用它来解决实际问题了。