粟一斗换几升米：出米率六十的古老答案

原典

今有粟一斗。问：为粝米几何？

答曰：六升。

术曰：置粟一斗十升，以粝米率三十乘之，得三百升为实，以粟率五十为法，除之，即得。

白话翻译

有一斗粟谷。问能舂成多少粝米（粗米）？

答案是：六升。

术文给的算法是：把一斗粟按十升计，乘粝米率三十，得三百升作为被除数；拿粟率五十作除数，除完即得。

这是整部《孙子算经》里最短的一道算术题——两句话问完，三句话算完。但别小看它：它开的是「粟米之法」的头，后面紧接着糳米、御米、粺米等一系列兑换，全都沿用同一套「率」的框架。

示意图

古人的算法

术文给出了一套完整的比例算法，可以逐句拆开。

第一步，把题目量化。 一斗 = 十升，这是秦汉量制的常识，所以「粟一斗」就是 10 升。

第二步，定下两个率。

「率」是什么？ 在古代算术里，「率」是同类量之间的比例关系。这里粟率五十、粝米率三十，意思是：同等数量的粟与粝米，按 50 与 30 的比例折算。 换成今天的语言，出米率是

第三步，以粟乘粝米率，得实。

第四步，以粟率除之。

答曰六升。

验算一遍今天的方式：出米率 $\dfrac{3}{5}$，一斗十升粟，得米 $10 \times \dfrac{3}{5} = 6$ 升。同一答案。

这道题奠定了《九章算术》粟米章的算法范式：已知 A 的率与 B 的率，求 A 对应多少 B——用「A × B率 ÷ A率」一步得解。所有兑换问题（粮、布、钱、盐、丝）都可以套这个模子。

现代数学视角

这是最简洁的正比例问题。

设粟量为 $s$，粝米量为 $m$，则

于是 $m = \dfrac{3}{5}s$。当 $s = 10$ 升时，$m = 6$ 升。

为什么出米率只有六成？ 粟谷带壳，壳（谷皮）与糠要占去四成左右。舂米就是把外壳磨掉——磨得越干净，出米越少但米质越精。这就解释了《孙子算经》接下来那几道题：糳米率 24（出米率 48%）、御米率 21（出米率 42%）——越精白的米，损耗越大。今天超市里糙米便宜、精白米贵，规律完全一样。

术语对照：古代的「粝米」是粗磨米，约当今糙米；「糳米」是舂过一遍、较精的米；「御米」最精，供上层食用。出米率从 60% 一路降到 42%——精白的代价是四成六的损耗。

这里藏着古代经济的核心信息：一户农家交租、完税，常常以粟计量；而食用要折成米。粟率与米率的设定，直接决定了「一斗粟折几升米」的官定标准，也就决定了税负轻重。

高中课本关联

正比例函数：$m = \dfrac{3}{5}s$ 是一条过原点的直线，斜率 $\dfrac{3}{5}$。这是最简比例关系，初中就学。让学生画出这条直线，标出 $s=10 \to m=6$ 的点。

比与比例：$30 : 50 = 3 : 5$。约去公因数 10，比例不变——这是比的基本性质。古人不懂「最简比」的说法，但他们选的 50 与 30 本身就不是最简，因为这两个数要跟糳米率 24、御米率 21 共用同一个「粟率 50」作基准。比率体系的统一，比单个比例的最简更重要。

单位换算：1 斗 = 10 升。这是量制常识，题目根本不解释——古代读者人人知道，今天的学生需要补一课。

数学建模：把「一斗粟换几升米」翻译成比例式，是最早的建模训练。让学生反过来编题：若有 7 斗 9 升粟，问得几升御米？（答案：$79 \times \dfrac{21}{50} = 33.18$ 升。）

思考与拓展

1. 算一算：按术文算——$10 \times 30 = 300$，$300 \div 50 = 6$ 升。再用今天的方式 $10 \times \dfrac{30}{50}$ 验算。

2. 比一比：若问的是「一斗粟为糳米几何」（糳米率 24），答案是多少？（提示：$\dfrac{10 \times 24}{50} = 4.8$ 升。）若为御米（率 21）呢？

3. 反问题：若要得粝米六升，需要多少粟？反过来验证术文是否对称。

4. 算率：三种米的出米率分别是多少？按从粗到精排序。为什么越精白的米率越小？请从加工过程解释。

5. 生活版：今天买 10 斤稻谷，糙米出米率约 65%，精白米出米率约 55%。分别算出多少斤，并算算精白比糙米多损失多少粮食。古代三种米率的规律，跟今天一致吗？

一句话总结

粟率五十、粝米率三十——一斗粟换六升米，一条六十的比例，管住了整部书的粮食兑换。