繁分数的四则运算

原典

今有合繁分数加减乘除诸术。凡繁分数，先化其本，然后用常法。

——《孙子算经·卷中》（繁分数运算总术）

这一条术文很短，但包含了繁分数四则运算的全部秘密：先化简，再运算。

这道题说的是什么

我们前面学了繁分数的化简。但实际做题时，经常会遇到繁分数的加、减、乘、除混合运算。比如：

$$\frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3}} + \frac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{4}}$$

这道题如果直接硬算，会非常麻烦。孙子的智慧是：先把每个繁分数都化简成普通分数，然后再做四则运算。

示意图

数学解读

1. 先化简，再运算

我们以刚才那道题为例：

$$\frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3}} + \frac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{4}}$$

第一步：化简每个繁分数。

$$\frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{3}} = \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$$ $$\frac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{3}{4}} = \frac{2}{5} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{15}$$

第二步：做加法。

$$\frac{3}{2} + \frac{8}{15} = \frac{3 \times 15 + 8 \times 2}{2 \times 15} = \frac{45 + 16}{30} = \frac{61}{30}$$

2. 乘法和除法更简单

繁分数的乘法：两个繁分数相乘，先各自化简，再相乘。

$$\frac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} \times \frac{\dfrac{e}{f}}{\dfrac{g}{h}} = \frac{ad}{bc} \times \frac{eh}{fg} = \frac{ad \times eh}{bc \times fg}$$

繁分数的除法：两个繁分数相除，先各自化简，再相除。

$$\frac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} \div \frac{\dfrac{e}{f}}{\dfrac{g}{h}} = \frac{ad}{bc} \div \frac{eh}{fg} = \frac{ad}{bc} \times \frac{fg}{eh}$$

3. 什么时候不能先化简？

有一个特殊情况：如果繁分数是表达式的一部分，而不是独立的一项，就不能先化简。

比如：

$$\frac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}}$$

这里的分子 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ 是一个加法表达式，分母 $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$ 是一个减法表达式。我们不能把分子或分母单独"化简"——因为化简的前提是它是一个独立的繁分数。

这种情况下，应该先算分子、再算分母、最后做除法：

分子：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

分母：$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{20}$

整体：$\dfrac{5}{6} \div \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{6} \times 20 = \dfrac{100}{6} = \dfrac{50}{3}$

4. 繁分数的混合运算

如果遇到复杂的混合运算，遵循以下顺序：

1. 先化简：把所有独立的繁分数都化简成普通分数。
2. 再做括号内：如果有括号，先算括号里的。
3. 乘除优先：乘除法优先于加减法。
4. 从左到右：同级运算从左到右依次进行。

在高中数学体系里的位置

① 分式的混合运算（八年级下）

初中数学的分式一章，会系统学习分式的加减乘除混合运算。繁分数是其中的基础练习，目的是训练学生对运算顺序和化简技巧的掌握。

② 代数式的化简（九年级·二次根式）

高中阶段，繁分数的概念会被推广到代数式。比如 $\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y}}$ 化简后是 $\dfrac{y}{x}$。这种从数字到字母的抽象，是代数思维的重要一步。

③ 极限与连续（必修第二册·预备）

在高等数学中，繁分数的概念会以"复分数"的形式出现在极限和连续的讨论中。比如 $\dfrac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}$ 这种形式，就是导数定义的雏形。理解繁分数的化简方法，对后续学习有铺垫作用。

思考与拓展

1. 算一算：

• $\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{2}{5}} \times \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{2}{7}}$
• $\dfrac{\dfrac{5}{6}}{\dfrac{1}{2}} \div \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{2}{3}}$
• $\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}}$

2. 想一想：繁分数的化简，和整数的约分有什么共同点？

3. 探究一下：如果一个繁分数的分子和分母都是多项式，比如 $\dfrac{x+\dfrac{1}{x}}{x-\dfrac{1}{x}}$，该怎么化简？

一句话总结

繁分数的四则运算，核心原则是"先化简，再运算"。独立的繁分数先化简成普通分数，混合表达式从内向外逐层处理，最后按照常规的运算顺序做加减乘除。