第12讲 减多益少——三个分数怎么拉平？

原典

今有三分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少，幾何而平？

答曰：減四分之三者二，減三分之二者一，并以益三分之一，而各平于一十二分之七。

術曰：置三分三分四分在右方，之一之二之三在左方，母互乘子，副并得六十三。置右為平實，母相乘得三十六，為法，以列數三乘未并者，及法等數，得九約訖，減四分之三者二，減三分之二者一，并以益三分之一，各平于一十二分之七。

——《孙子算经·卷中》第四题

白话翻译

有三个分数：$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{4}{3}$…等等，$\frac{4}{3}$已经大于1了？等等，原题写的是"四分之三"——$\frac{3}{4}$。对，题目是：有 $\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$ 三个分数。请问：要从大的里面减掉多少，加到小的里面，才能让三个分数变得相等？

答案是：从 $\frac{3}{4}$ 中取出2份（这里的"份"是某种单位量），从 $\frac{2}{3}$ 中取出1份，一起加到 $\frac{1}{3}$ 上，三个数就都变成了 $\frac{7}{12}$。

方法：把分母 3、3、4 放在右边，分子 1、2、3 放在左边。用"母互乘子"——每个分子分别乘以另外两个分母的乘积，然后把三个结果加起来，得到 63。把三个分母相乘得到 36，作为除数（法）。用列数（3）乘以"未并者"（即36），再除以"等数"（公约数），得到 9。约分后，从 $\frac{3}{4}$ 中减 2，从 $\frac{2}{3}$ 中减 1，加到 $\frac{1}{3}$ 上，三个都变成 $\frac{7}{12}$。

示意图

数学解读

1. 这道题在问什么？

这道题描述的场景非常直观：你有三个数，大的大小的小，想要通过"调配"让它们变得一样。今天我们会说"求平均数"，但孙子的表述更加形象——"减多益少"：把多的减掉，补给少的。

三个分数分别是：

$$\frac{1}{3} = 0.333\ldots,\qquad \frac{2}{3} = 0.666\ldots,\qquad \frac{3}{4} = 0.75$$

它们的平均数是：

$$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}}{3} = \frac{\frac{3}{3} + \frac{3}{4}}{3} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{3} = \frac{\frac{7}{4}}{3} = \frac{7}{12}$$

没错，就是 $\frac{7}{12}$。但孙子不是用平均数公式算的——他用的是"通分后再调配"的方法。

2. "母互乘子"——这次是三个分数

先看孙子的第一步操作：

置三分三分四分在右方，之一之二之三在左方，母互乘子，副并得六十三。

把三个分数的分母和分子对齐排列：

右方（分母）	左方（分子）
3	1
3	2
4	3

然后"母互乘子"——每个分子乘以另外两个分母的积：

• $\frac{1}{3}$：$1 \times (3 \times 4) = 1 \times 12 = 12$
• $\frac{2}{3}$：$2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$
• $\frac{3}{4}$：$3 \times (3 \times 3) = 3 \times 9 = 27$

把三个结果加起来：$12 + 24 + 27 = 63$。

这一步本质上是在做什么？就是把三个分数通分到公分母 $3 \times 3 \times 4 = 36$ 下：

$$\frac{1}{3} = \frac{12}{36},\qquad \frac{2}{3} = \frac{24}{36},\qquad \frac{3}{4} = \frac{27}{36}$$

然后"副并"就是把通分后的分子加起来：$12 + 24 + 27 = 63$。这个 63，实际上就是三个分数通分后分子之和。

3. "平实"与"法"——平均数的雏形

孙子说："置右为平实，母相乘得三十六，为法。"

"平实"就是"平均的被除数"。63 是三个通分后分子的和，36 是三个分母的积（公分母）。如果要算三个数的平均数，应该是：

$$\frac{63}{36} \div 3 = \frac{63}{36} \times \frac{1}{3} = \frac{63}{108} = \frac{7}{12}$$

但孙子的做法不是直接除。他接着说：

以列數三乘未并者，及法等數，得九約訖

这句话很关键。"未并者"指的是"还没有合并的东西"——其实就是公分母 36。"列数"就是分数的个数，这里是 3。$3 \times 36 = 108$，这是"三个数之和如果每个数都按分母 36 来衡量"的总量。

然后他说"及法等数，得九約訖"——"等数"就是最大公约数。108 和 63 的最大公约数是 9，用 9 约分：

$$\frac{63}{108} = \frac{63 \div 9}{108 \div 9} = \frac{7}{12}$$

这一步的精妙之处在于：孙子没有直接写"把和除以 3"，而是通过"列数乘公分母，再求最大公约数"来约分，得到最简分数 $\frac{7}{12}$。

4. "减多益少"——具体的调配方案

算出平均数 $\frac{7}{12}$ 之后，孙子给出了具体的调配方案：

減四分之三者二，減三分之二者一，并以益三分之一

这句话的意思是：从 $\frac{3}{4}$ 中减去 2 个单位，从 $\frac{2}{3}$ 中减去 1 个单位，把这些加到 $\frac{1}{3}$ 上。这里的"单位"是 $\frac{1}{12}$——因为在公分母 12 下：

• $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$，比 $\frac{7}{12}$ 少了 3 个 $\frac{1}{12}$
• $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$，比 $\frac{7}{12}$ 多了 1 个 $\frac{1}{12}$
• $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$，比 $\frac{7}{12}$ 多了 2 个 $\frac{1}{12}$

所以：从 $\frac{3}{4}$ 拿 2 份（补了 2/12），从 $\frac{2}{3}$ 拿 1 份（补了 1/12），总共 3 份，全部给 $\frac{1}{3}$（缺 3 份），正好拉平。

$$\frac{1}{3} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$$ $$\frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$$ $$\frac{3}{4} - \frac{2}{12} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$$

三数相等。

5. 从算法到思想："平"的哲学

"减多益少"这个词，本身就带有一种朴素的公平理念。把多的减下来补给少的，让各方达到均衡——这既是一种数学操作，也是一种社会理想。

有意思的是，古希腊的亚里士多德在《尼各马可伦理学》中讨论"分配正义"时，用的也是类似的思路：把多于平均的部分取走，补给不足的部分，这就是"公平"。中国人在数学里用"减多益少"来表达平均的概念，西方人在伦理学里用"取多补少"来定义正义——数学与哲学在这里交汇了。

在数学史上，这道题可以被看作是加权平均数的雏形。孙子不仅算出了三个数的平均值，还给出了每个数应该调整多少才能达到平均值——这在现代统计学中，就是"离差"（deviation）的概念。每个数与平均数的差，正好是它需要调整的量。

高中课本关联

① 平均数与众数、中位数（必修第三册·统计）

这道题的"减多益少"本质就是求算术平均数。高中统计中平均数的概念，其实可以追溯到这道题的直观理解：把多的匀给少的，让大家都一样。这个直观理解，比公式 $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ 更容易让学生接受——平均数不是一个"算出来"的抽象数字，而是"调一调就齐了"的那个目标值。

② 通分与约分（必修第一册·有理数运算）

这道题中，孙子先通分（分母相乘得 36），再约分（找到等数 9，约得 $\frac{7}{12}$），完整地展示了"先通分再约分"的流程。在教学中，可以借此向学生展示：通分和约分不是两个孤立的操作，而是一个完整的"放大—缩小"过程——先放大到公共尺度下处理，再缩回到最简形式。

③ 最大公约数的应用（选修·数论初步）

"等数"就是最大公约数。在这道题中，孙子用等数 9 来约分 63/108，得到 $\frac{7}{12}$。这个应用场景非常自然——不是为约分而约分，而是在计算平均数时"顺便"约分。如果学生在学习最大公约数时看到这样的实际应用，他们对"为什么要学公约数"的理解会比单纯做练习题深刻得多。

教学启示

我建议在教"平均数"这个概念时，先不讲公式，先讲"减多益少"的故事：

1. 在黑板上写下三个数：$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$。
2. 问学生：怎么让它们一样大？大的要削掉多少，小的要补多少？
3. 让学生自己尝试"调平"，用图形或数轴辅助。
4. 学生自然会想到：先把它们化成同分母，看看每个离目标差多少。
5. 然后问：这个"目标"是多少？因为总数不变，所以总数除以 3 就是目标。
6. 最后引出公式：$\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n}$。

这样教的好处是，学生先建立了"平均就是拉平"的直观，再抽象成公式——而不是反过来。

思考与拓展

1. 算一算：如果是四个分数 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$，用"减多益少"的方法求它们的平均数，最终结果是多少？

2. 想一想：孙子说的"未并者"——公分母 36，为什么还要乘以"列数"（3）？有没有另一种方法，直接把 63 和 36 的等数算出来，然后写 $\frac{63 \div 9}{36 \div 3}$ 得到 $\frac{7}{12}$？比较一下两种方法的差异。

3. 挑战题：假设有三个线段，长度分别是 $a$、$b$、$c$，要把它们接成一根等长的绳子，需要从长的那端剪多少？这个问题跟"减多益少"有什么本质联系？

一句话总结

"减多益少"四个字，既是平均数的直观描述，也是人类社会"取有余而补不足"的朴素公平——而孙子在两千年前就用"母互乘子"和"等数约之"，把这件事算得清清楚楚。