粟米之法二：粟换粺米——古人怎么算粮食兑换？

原文

今有粟二斗一升。問：為粺米幾何？

答曰：一斗一升五十分升之一十七。

術曰：置粟數二十一升，以粺米率二十七乘之，得五百六十七升，為實；以粟率五十為法，除之不盡，以法而命分。

白话翻译

现在有粟米二斗一升。问：能兑换成多少粺米？

答：一斗一升又五十分之十七升。

运算法则：先把粟米数量统一成"升"作单位，得二十一升。用粺米的兑换率二十七去乘，得到五百六十七升，这就是"实"（被除数）。再用粟米的兑换率五十作"法"（除数），去除这个实。除不尽的时候，就以法（五十）作为分母来表示分数部分。

示意图

数学解读

一、现代解法：一道比例题的规范书写

这道题本质上是一道正比例应用题。

已知粟与粺米的兑换率：50 份粟 → 27 份粺米

现有粟 2 斗 1 升 = 21 升，设可换粺米 $x$ 升。

根据比例关系：

$\frac{x}{21} = \frac{27}{50}$

解得：

$x = \frac{21 \times 27}{50} = \frac{567}{50} = 11\frac{17}{50} \text{（升）}$

换算回复合单位：

$11\frac{17}{50} \text{升} = 1 \text{斗} \; 1 \text{升} \; \frac{17}{50} \text{升}$

核验：$11 \times 50 + 17 = 550 + 17 = 567$，分子正确。答曰"一斗一升五十分升之一十七"，完全吻合。

二、古术逐句解读：筹算的五步操作

古人的"术文"是一套精确的筹算操作指令，我们逐句拆解：

第一步："置粟數二十一升"

"置"是筹算术语，意为"摆放、设定"。把粟的数量统一换算成升：2 斗 1 升 = 21 升。这里的关键是单位统一——古人深知不同单位的数不能直接运算，必须先化为同一单位。

第二步："以粺米率二十七乘之，得五百六十七升，為實"

"粺米率二十七"指的是粟米兑换表中粺米的比率常数。用 27 去乘 21，得 567。这个积叫做"实"（shí），就是被除数。

这一步的数学本质是：求出"如果分母是 1，粺米应该是多少"的中间量。

第三步："以粟率五十為法"

"粟率五十"是粟的比率常数，作为"法"（除数）。

第四步："除之不盡"

用 567 除以 50，得商 11，余数 17，除不尽。

第五步："以法而命分"

"命分"是古人的分数表达术语。除不尽时，以"法"（50）为分母，余数（17）为分子，得到分数部分 $\frac{17}{50}$。

最终结果：$11\frac{17}{50}$ 升，即 1 斗 1 升又 $\frac{17}{50}$ 升。

三、古今对照：算法完全一致

环节	现代算法	古术算法	是否一致
单位换算	2斗1升 = 21升	置粟數二十一升	✓
比例乘法	$21 \times 27 = 567$	以粺米率二十七乘之，得五百六十七升	✓
确定除数	除以50	以粟率五十為法	✓
分数表达	$\frac{567}{50} = 11\frac{17}{50}$	除之不盡，以法而命分	✓
结果还原	1斗1升$\frac{17}{50}$升	一斗一升五十分升之一十七	✓

古今算法在数学结构上完全一致，区别仅在于表达语言：现代用阿拉伯数字和等式，古人用筹算术语和程序化指令。

四、"今有术"的核心逻辑：所有比例问题的通解

这道题所用的方法叫做"今有术"，是中国古代解决比例问题的标准算法。

"今有"的意思是"现在有"，题目的标准开头就是"今有粟二斗一升"。

今有术的通用公式可以写成：

$\text{所求数} = \frac{\text{所有率} \times \text{所求率}}{\text{所有数}}$

在本题中：

• 所有数 = 21升（现有粟）
• 所有率 = 50（粟率）
• 所求率 = 27（粺米率）

$\text{粺米} = \frac{21 \times 27}{50} = \frac{567}{50}$

这个算法与古希腊的"三率法"（Rule of Three）本质相同，但中国数学家至少在公元前1世纪就已经系统使用，比欧洲的明确记载早了约一千年。

五、"命分"的深意：古人的分数智慧

"以法而命分"四个字，体现了中国古代对分数的深刻理解。

"命"是"命名、命名"的意思。当除法除不尽时，古人不是简单地写成一个带余数的算式（比如"商11余17"），而是直接用分数来表示这个除法的精确结果：$\frac{17}{50}$。

这说明在《孙子算经》成书的年代（约公元4-5世纪），中国人已经把分数运算发展到了相当成熟的水平。分数的引入，使得比例问题的答案可以是精确值，而不是近似值或带余数的形式。

高中课本关联

知识点定位： 本题直接对应高中数学的比例运算与分数表达。

高考考法：

1. 文化背景题：近年高考常以古代数学题为阅读材料，考查学生提取数学模型的能力。例如给出"今有术"的背景，要求用现代数学符号写出算法流程。

2. 单位换算题：本题涉及"斗"与"升"的换算（1斗 = 10升），与物理、化学中的单位换算考查方式类似。

3. 算法初步：在"算法与程序框图"章节中，古人程序化的"术文"是很好的案例素材——每一步操作明确，没有歧义，符合算法的确定性特征。

典型变式： 高考中可能出现"粟换御米""粟换稻"等同类问题，核心都是同一套"今有术"。

思考与拓展

练习一：基础换算

今有粟三斗五升。问：为粺米几何？

（提示：35升 × 27 ÷ 50 = 945 ÷ 50 = 18.9升 = 1斗8升$\frac{45}{50}$升 = 1斗8升$\frac{9}{10}$升）

练习二：逆向问题

今有粺米二斗三升。问：原粟几何？

（提示：已知粺米求粟，用粺米率作"所有率"，粟率作"所求率"。23升 × 50 ÷ 27 = $\frac{1150}{27}$ = 42$\frac{16}{27}$升 = 4斗2升$\frac{16}{27}$升）

练习三：比较分析

《孙子算经》粟米兑换表中，粟率50，粺米率27，御米率18。请问：同样的粟，换粺米多还是换御米多？为什么？

（提示：兑换率越高，得到的米越多。粺米率27 > 御米率18，所以换粺米更多。这本质上是因为粺米加工程度低于御米，损耗更少。）

一句话总结

"以法而命分"四个字，道尽了中国古人处理除不尽问题的智慧——用分数给出精确答案，而不是停留在"商几余几"的近似表达。今有术的本质，就是现代数学中的正比例运算。