女子善织——中国算书里最早的等比数列

原典

今有女子善织，日自倍，五日织通五尺。问：日织几何？

答曰：初日织一寸三十一分寸之一十九，次日织三寸三十一分寸之七，次日织六寸三十一分寸之一十四，次日织一尺二寸三十一分寸之二十八，次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

术曰：各置列衰副，并得三十一为法，以五尺乘并者，各自为实，实如法而一，即得。

白话翻译

有位女子擅长织布，每天织的量是前一天的两倍，五天共织了五尺。问她每天各织多少？

答案是：第一天一寸又三十分之一……确切地说是 1 寸 + $\dfrac{19}{31}$ 寸；第二天 3 寸 + $\dfrac{7}{31}$ 寸；第三天 6 寸 + $\dfrac{14}{31}$ 寸；第四天 1 尺 2 寸 + $\dfrac{28}{31}$ 寸；第五天 2 尺 5 寸 + $\dfrac{25}{31}$ 寸。

术文的算法是：把每天的「衰」（比例项）列出来相加，得三十一作为除数；再拿五尺分别乘各项作为被除数，逐一相除即得。

这道题的关键在那个「三十一」：它不是随便来的，而是 $1+2+4+8+16$——五天倍增的所有比例项之和。理解了这个三十一，整道题就通了。

示意图

古人的算法

术文只给了九个字的主干，但逻辑完整。

第一步，列衰。 每天的量是前一天的两倍，所以比例是

第二步，副并得法。

这个 31 就是除数（法）。

第三步，五尺乘各自为实，实如法而一。

设第一天织 $x$ 寸，则五天共织

总量是 5 尺 = 50 寸，所以

于是五天分别是：

换成「寸又三十几分之几」的古代形式：

• 第一天：$\dfrac{50}{31} = 1$ 寸 $\dfrac{19}{31}$（因为 $50 = 31 + 19$）
• 第二天：$\dfrac{100}{31} = 3$ 寸 $\dfrac{7}{31}$（$100 = 3 \times 31 + 7$）
• 第三天：$\dfrac{200}{31} = 6$ 寸 $\dfrac{14}{31}$（$200 = 6 \times 31 + 14$）
• 第四天：$\dfrac{400}{31} = 12$ 寸 $\dfrac{28}{31}$（$400 = 12 \times 31 + 28$）——12 寸即 1 尺 2 寸
• 第五天：$\dfrac{800}{31} = 25$ 寸 $\dfrac{25}{31}$（$800 = 25 \times 31 + 25$）——25 寸即 2 尺 5 寸

与答曰逐字吻合。验算总和：

正好是题目所给的总量。

现代数学视角

这是首项为 $x$、公比 $q = 2$、项数 $n = 5$ 的等比数列求和。

已知 $S_5 = 50$ 寸，所以 $x = \dfrac{50}{31}$。

术文的「副并得三十一」，正是 $\dfrac{2^5-1}{2-1} = 31$ 这个等比求和因子。古人没写过这个公式，但他们在每一道「衰分」题里都在用它。把「列衰相加」变成自觉的公式，还要等到后世；但在操作层面，中国算家早就熟练掌握了。

为什么总量是整数而各项是分数：$2^5 - 1 = 31$ 是质数，且不整除 50，所以首项必然是分数。古人坦然接受分数答案——他们不为「好看」而改数。这也解释了为什么答曰全是「××寸三十一分之几」：不是复杂，是诚实的答案。

「日自倍」有多快：第五天是 25.8 寸，是第一天 1.6 寸的 16 倍。若继续下去，第 10 天就是 $50 \times 2^{5} \approx 1600$ 寸（约 16 尺），第 30 天更是天文数字。数学上古率增长如此，现实里织工不可能做到——这正是数学模型与现实的区别。第 68 讲「九堤递乘」讲的是同一件事，可以对照。

高中课本关联

等比数列：通项 $a_n = a_1 q^{n-1}$、前 $n$ 项和 $S_n = \dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$。本题是已知 $S_n$、$q$、$n$ 求 $a_1$ 的完整范例，且 $S_n$ 的因子 31 与 $q^n-1$ 直接对应。

方程的分数解：$\dfrac{50}{31}$、$\dfrac{800}{31}$。训练学生接受分数答案——数学的答案不总是整数，「好看」不是判据。

与实际的差距：可以让学生画一张「日自倍」前 10 天的产量曲线，讨论它何时会超出织布机物理极限或人的体力极限，从而理解指数模型的适用边界。这与生物学的细胞分裂、金融学的复利是同一话题。

古算的一题多解：本题既能用「列衰相加」（古法），也能用通项公式（今法）。两种方法列出来对比，学生能体会到数学表述的演进。

思考与拓展

1. 算一算：列衰 $1,2,4,8,16$，和为 31；$50 \div 31$ 得首项；依次乘 2 得五天产量；再把五个分数加起来验算等于 50 寸。

2. 用公式：用 $S_5 = \dfrac{a_1(2^5-1)}{2-1} = 31a_1 = 50$ 解出 $a_1$，验证与古法一致。说明 $2^5 - 1$ 与「副并得三十一」的关系。

3. 改天数：若改为「日自倍，七日织通十尺」，问首日织多少？（提示：$1+2+\cdots+64 = 127$，$10$ 尺 $= 100$ 寸，答案分母是 127。）

4. 改公比：若「日自三倍，四日织通四十寸」，比例项之和是多少？首日多少寸？（提示：$1+3+9+27 = 40$。）

5. 现实检验：按本题速度，第几天日产量会超过一匹布（约 4 丈 = 40 尺 = 400 寸）？这一天织出来的布，五天能织多少？讨论「日自倍」在现实中的可行性。

一句话总结

1+2+4+8+16=31，五尺除以三十一——九个字的术文背后，是一千五百年前就熟练运用的等比数列求和。