孙子算经 · 第 32 讲 · 2026-10-18 · 约 10 分钟

筑城计功——古代土建工程怎么排工期

筑城上广二丈、下广五丈四尺、高三丈八尺、长五千五百五十尺，秋程人功三百尺，问须功几何？答曰二万六千一十一功。这是《孙子算经》里最像现代工程预算的一道题：算体积、定定额、除一下就得人数。两千年前的工部长官，用的就是今天造价工程师的算法骨架。

原典

今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺。问：须功几何？

答曰：二万六千一十一功。

术曰：并上下广，得七十四尺，半之，得三十七尺，以高乘之，得一千四百六尺，又以长乘之，得积七百八十万三千三百尺，以秋程人功三百尺除之，即得。

要修筑一段城墙：顶部宽二丈，底部宽五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺。秋季规定每个劳工的日工作量是三百立方尺。问需要多少个「功」？

答案是：二万六千零一十一功。

术文给的算法是：把上广与下广相加，得七十四尺；取半，得三十七尺（平均宽度）；乘高三丈八尺，得一千四百零六平方尺（横截面积）；再乘长得总体积七百八十万零三千三百立方尺；最后用每人秋季定额三百立方尺除，得到功数。

这道题的结构跟今天修路、挖沟的工程量清单一模一样：确定截面形状 → 算截面积 → 乘长得体积 → 按定额折算人工。两千年前的算法骨架，今天一个字都不用改。

筑城计功：梯形截面、体积、定额三步

图：(20+54)÷2 = 37 尺均宽 × 38 尺高 = 1406 平方尺 × 5550 尺 = 7,803,300 立方尺 ÷ 300 = 26011 功

术文五步，每步都能对账。

第一步，并上下广。

20 + 54 = 74\ \text{尺}

上广二丈 = 20 尺，下广五丈四尺 = 54 尺。注意这里统一了单位再相加——古人实务中常这样，先把「丈」化成「尺」，避免混算。

第二步，半之得均宽。

74 \div 2 = 37\ \text{尺}

这就是第 24 讲堤坝用过的手法——梯形截面的中位线。城墙正是梯形截面（上窄下宽才稳）。

第三步，乘高得截面积。

37 \times 38 = 1406\ \text{平方尺}

验算： $37 \times 38 = 37 \times (40 - 2) = 1480 - 74 = 1406$ 。

第四步，乘长得体积。

1406 \times 5550 = 7803300\ \text{立方尺}

验算： $1406 \times 5550 = 1406 \times 5000 + 1406 \times 550 = 7030000 + 773300 = 7803300$ 。

第五步，以人功除之。

\frac{7803300}{300} = 26011\ \text{功}

一步不余，正好整除。 古人编题时显然调过数——让 $7803300$ 恰好是 $300$ 的倍数，省去分数的麻烦。这类「凑整除」在第 23 讲（216 = 27×8）也见过，是中算书编例题的常见手法。

「秋程人功三百尺」是个定额。 春、夏、秋三季日照长短不同，体力消耗不同，能出的工量也不同，所以《九章算术》按季节分别定程。本题取的是秋季定额。

把术文抽象出来，就是一条工程公式：

N = \frac{1}{\text{定额}} \times \frac{(a+b)h}{2} \times L

其中 $a$ 、 $b$ 是上下宽， $h$ 是高， $L$ 是长。今天的定额不叫「人功三百尺」，叫「人工消耗量指标」（单位：工日/立方米），但作用是同一件事：把工程量换算成人工，再换算成工期和钱。

现代造价的三步：算量（本题的体积）→ 套定额（本题的三百尺）→ 计价（本题没有，但工程上必须算）。古人停在了第二步——他们算的是「须功几何」，即需要多少个工日；再往下就进入钱粮调度，那是官府会计的范畴了。

为什么定额要分季节：秋季天高气爽，出工效率最高；夏季酷暑，每人能出的工量就低。同一个人、同一把工具，不同季节产出的立方尺数不一样。今天的定额也按冬雨季施工增加费调整，思路一致。

城墙体积有多大：780 万立方尺。按一尺约 0.23 米（秦汉尺）折算，约合 9500 立方米土方——相当于今天三四栋楼的土方开挖量。用 26011 个工日，一个工日一方土左右，这个效率放到今天也不算离谱。

柱体体积与梯形面积：城墙是「梯形截面的棱柱」，体积 = 截面积 × 长度。这是 $V = Sh$ 的一般形式，本题给了它最实用的场景。

工程应用题：高考数学里有大量「造价、租金、材料最省」型的优化题，本题是其古代原型。可以让学生试着改条件：若上广增大，土方量怎么变？若高度不变、长度加倍，功数如何？（都是线性关系，但每一项的系数不同。）

单位换算的实务：题目里同时出现丈、尺两种单位，术文先统一成尺再算。这正是今天强调的「先统一单位再运算」。

四舍五入与整除： $7803300 \div 300$ 正好整除。可以追问：如果体积多出 1 立方尺，该怎么办？古人会怎么记？（答案：余数成分数，或并入下一位。）这引出「取整规则」的话题——现代工程预算里，这个规则是明文规定的。

算一算：按术文五步完整算：并广 74、半之 37、乘高 1406、乘长 7803300、除定额 300 得 26011。每步都要写中间数。
改定额：若改为春季人功二百尺，问须功几何？比秋季多还是少？为什么？
改尺寸：若城墙长度改为五千步（15000 尺），其他不变，功数是多少？长度与功数成什么关系？
优化题：城墙截面必须容纳 1406 平方尺（否则不牢固）。若上广固定为 2 丈，下广与高可以调——下广增大同时减小高度，能否保持面积不变？这在实际工程中有什么意义？
换算现代：查一下秦汉一尺约 0.231 米，把本题体积换算成立方米。再假设现在一个工人一天挖 1.2 立方米，问需要多少工日？与古法的 26011 功比，效率差多少？

梯形截面乘长得体积，除以季节定额得人工——古代算的是二万六千零一十一功，今天造价表上写的，还是同一套逻辑。

— Y. · 2026-10-18