几丁科一兵：全卷最朴素的一笔除法

原典

今有丁一千五百万，出兵四十万。问：几丁科一兵？

答曰：三十七丁五分。

术曰：置丁一千五百万为实，以兵四十万为法，实如法，即得。

白话翻译

全国有一千五百万丁，要出兵四十万。问：平均多少个丁摊得上一个兵？

答案是：三十七个半丁出一个兵。

术文给的算法是：把一千五百万丁放在「实」的位置上，把四十万兵放在「法」的位置上，实照着法除一次，答案就出来了。

示意图

古人的算法

这道题的术文短到不能再短，九个字，只说了三件事：谁是实，谁是法，怎么算。

「置丁一千五百万为实」——被除数放在实位。题干已经把两个数都写明了，这里不过是把上下的位置指出来。一千五百万是七位数，在没有阿拉伯数字的时代，这个数在算筹上要摆成一片：百万位千百十一，一层层下来。古人做这个题，摆筹的时间大概比算的时间还长。

「以兵四十万为法」——除数放在法位。「法」就是标准、准则，今天说的除数。这个词一直活到现代汉语里：法，就是拿来衡量别人的那把尺子。

「实如法，即得」——实照着法除一次，就得到了。「如」是依照、顺着的意思。「实如法」就是拿实去除以法。这句话在后世算书里反复出现，是整部中国古算里最高频的指令之一：凡是「照除一遍就完事」的题，术文都收在这几个字上。

方向千万不能反

题目问的是「几丁科一兵」，这个问法要当心。兵是被分出来的份数，三十七个半丁才凑出一份，所以丁在下面、兵在上面：

$$1\ \text{兵} \leftarrow 37.5\ \text{丁} \qquad (1)$$

写成算式，必须让丁数在上面：

$$\frac{15000000\ \text{丁}}{400000\ \text{兵}} = \frac{75}{2} = 37.5\ \text{丁/兵} \qquad (2)$$

三十七丁五分，是三十七个整丁再加半丁。这里的「五分」指一丁分成十份取五份。

如果问的是「一丁出多少兵」，答案就不是 37.5，而是它的倒数 $\dfrac{400000}{15000000}=\dfrac{2}{75}$，约等于 0.0267 个兵。三十七个半丁出一个兵，和一丁出三十七个半兵，差着天上地下。问句的主语是谁，谁就当分母，这是这道题唯一容易错的地方——算术本身毫无难度，难点全在读题。

在算筹上怎么除

古人在算盘和算筹上做的，和今天的竖式除法是同一件事，只是次序不同。

第一步先砍零：一千五百万和四十万都带零，各去掉三个零，式子缩成 $15000 \div 400$，再各去掉两个零，缩成 $150 \div 4 = 37.5$。

第二步验算：四十万乘三十七是一千四百八十万，一千五百万减它还余二十万；二十万正是四十万的一半，所以再添半个。$37 + 0.5 = 37.5$。

零砍掉再算，剩下的才是要真做的除法。估商—试乘—看余数，这个节奏今天的学生做长除法时一模一样。

大数怎么读

一千五百万与四十万，量级差着几十倍。用今天的科学记数法写：

$$1.5 \times 10^{7} \div (4 \times 10^{5}) = 0.375 \times 10^{2} = 37.5 \qquad (3)$$

指数的减法替人算掉了量级。古人不讲指数，但「先除大数、再看尾巴」的做法，实质就是在处理量级——把能约掉的零先约掉，剩下的才是要真算的部分。

现代数学视角

用今天的眼光看，这是一道纯粹的整除题，但它至少踩在现代数学的三个关节上。

第一，它是一个比例常数。 一千五百万丁对四十万兵，一比就固定下来：

$$k = \frac{15000000}{400000} = 37.5 \qquad (4)$$

有了这个 $k$，以后不问丁数多少，一律拿丁数除以 $k$ 就得出兵数。丁数降到一千二百万，出兵就是 $12000000 \div 37.5 = 320000$，还是个整数；丁数涨到三千万、要出兵五十万，一比是 60，比 37.5 摊得更薄。常数抓在手里，一类题就全解决了。

这里有个可以顺手体会的规律：两边同时放大或缩小同一个倍数，比值不变。四十万乘一是四十万，乘三是一百二十万；与之相配的丁数也该乘三。这就是为什么「约分」在除法里那么有用——一千五百万和四十万都能被五整除，先约掉，数小了，商不变：

$$\frac{15000000}{400000} = \frac{1500000}{40000} = \frac{1500}{400} = \frac{150}{40} = \frac{15}{4} = 3.75 \times 10 = 37.5$$

约到最简，$\dfrac{15}{4}$ 已经小到一口能报出来。古人没有分数约分的系统记号，但「能砍的零先砍掉」是算术上的常识。

第二，答案是个分数。 三千七百五十乘四十万是一亿五千万，多了一个零；三十七点五乘四十万才是一千五百万。古人不写 37.5，写「三十七丁五分」——把一丁劈成十份，取五份。中国古算在《孙子算经》卷中第 11 讲前后已经建立了「几分之几」的分数记法，这里正好用上：$37.5 = 37\dfrac{5}{10} = \dfrac{75}{2}$。小数和分数在这里是一回事，只是记法不同。

顺便值得停一秒：$\dfrac{15}{4}$ 和 $\dfrac{75}{2}$ 是相等的，但古人选的是后者。为什么不用「三丁七分五厘」这种更简的形式？因为「丁」下面分十等份最自然，跟十进制对齐；$\dfrac{15}{4}$ 要把一丁分成四份，切起来反而不顺。同一个数有不同的分数写法，工具要顺着现实的分割方式来选，这是古代算家接地气的地方。

第三，这是「带单位的量」的第一课。 37.5 后面跟着「丁/兵」，不能光写一个数。今天写物理公式，单位要跟着跑：

$$15000000\ \text{丁} \times \frac{1\ \text{兵}}{37.5\ \text{丁}} = 400000\ \text{兵}$$

丁约掉了，兵留下来。量纲能对消，是检验列式对不对最快的办法——除完之后单位若不对，一定是分子分母挑反了。学生做题常常式子列对、答案算错，把单位写出来，错处自己就露头。

半个丁怎么落地，题目没说。 数学上一丁的十分之五清清楚楚；在征役里怎么执行，这道题给不出答案，也不该替它编。能说的是：正因为有除不尽的情形，分数才必须存在——如果每次都恰好除尽，古人也用不着发明「几分之几」了。

高中课本关联

比与比例：全题就一个比。一千五百万比四十万，可以反过来说「每 2 个兵背后站着 75 个丁」——$2:75$ 与 $40:1500$ 是同一个比的两种说法。高中课本的正比例、反比例，原型就是这类记账题。

分数与小数互化：$\dfrac{75}{2}=37.5$，一个整数加一个真分数就是带分数。古人的「五分」是分数思路，今人的「0.5」是小数思路，含义完全等价，只是写起来快慢不同。

近似与有效数字：37.5 是精确值，不是近似值。但若问「一丁出几个兵」，$\dfrac{2}{75}=0.0266\ldots$ 除不尽，这时才需要取舍——保留几位、四舍五入到哪一位，是高中近似计算的内容。反过来说，凡是能除尽的题都不必谈近似，先判断有没有余数，再决定要不要近似，是个好习惯。

统计里的「率」：把一千五百万看成人次、四十万看成事件数，「每三十七点五丁出一兵」就是个发生率。今天说发病率、出勤率、命中率，结构跟这道题一模一样：事件数除以总数，再取倒数。高中课本里还有一条更直接的线——一次函数 $y = kx$。这道题的兵数 $y$ 与丁数 $x$ 的关系就是 $y = \dfrac{x}{37.5}$，$k = \dfrac{1}{37.5}$，过原点的一条直线。正比例函数最朴素的来源，就是「按人头摊派」。

思考与拓展

1. 换个方向问：一丁该出多少兵？与「几丁科一兵」是什么关系？两者相乘等于几？

2. 改编一道：若全国丁数一千八百万，仍出兵四十万，问几丁科一兵？答案是整数还是分数？

3. 反过来编题：若规定「三十六丁科一兵」，一千五百万丁能出多少兵？除不尽时你会怎么取整？

4. 估一估就行：不动笔，估一下 $9876543 \div 12345$ 大约是几百？算完可以拿真实值 800 对一对，看你的量级抓得准不准。（提示：把两边都看成「一百万除一万」，得一百；再多看一眼量级，别止步于一百。）

一句话总结

一千五百万除以四十万，答案是三十七个半丁出一个兵——全卷最短的术文配最长的被除数，中国古算的除法在这一题上干净利落地走完了全程。