盈不足术——一项西传的中国算法

原典

今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹。问人、绢各几何？

答曰：贼一十三人，绢八十四匹。

术曰：先置人得六匹于右上，盈六匹于右下，后置人得七匹于左上，不足七匹于左下，维乘之所得，并之为绢，并盈不足为人。

白话翻译

有人偷了库里的绢，不知道丢了多少。只听见贼人在草丛里分绢：如果每人分六匹，就多出六匹；如果每人分七匹，就差七匹。问贼有几人、绢有多少匹？

答案是：贼十三人，绢八十四匹。

术文给的算法是：把「人得六匹」放在右上，「盈六匹」放右下；「人得七匹」放左上，「不足七匹」放左下。交叉相乘，把所得加起来作为绢数；把盈与不足加起来作为人数。

这是中国古代最重要的算法之一。 它只靠两次假设（假设每人 6 匹、假设每人 7 匹），就把答案算了出来，全程不需要解方程。

示意图

古人的算法

先把题意翻成今天的方程。 设人数 $n$、绢数 $M$。

每人六匹，盈六匹——分完了还多六匹：

每人七匹，不足七匹——分了还差七匹：

两式相减：

代回
(1)：$M = 6 \times 13 + 6 = 84$。

验算两式：$84 = 6 \times 13 + 6 = 84$ ✓，$84 = 7 \times 13 - 7 = 84$ ✓

术文怎么算？ 它不解方程，而是「交叉相乘」：

术文说「维乘之所得，并之为绢」。四个位置摆好后，交叉相乘相加：

「并盈不足为人」：把盈六与不足七相加：

通用公式：设两次假设的每份为 $a_1$、$a_2$，对应的盈/不足为 $b_1$、$b_2$，则

本题 $a_1 = 6$、$a_2 = 7$、$b_1 = 6$、$b_2 = 7$：

为什么这样就对？ 可以这样理解：两次假设相差的每人份数是 $a_2 - a_1 = 1$，而这个差值同时「吃掉」了盈与不足之和 $b_1 + b_2 = 13$（多出来的六匹 + 缺少的七匹）。所以人数就是 $\dfrac{b_1+b_2}{a_2-a_1}$。这个推理不需要代数，只用比例：一份差异对应一份盈缺之差。

现代数学视角

盈不足术的实质，是线性插值。

把「每人数」记为 $x$，「需要的绢数」记为 $f(x) = nx$。两次试算给出：

由于 $f(x)$ 是过原点的直线，两点定线。术文算出的 84 和 13，正是这条直线与「$f(x) =$ 实际存量」的交点。

今天这叫「弦截法」，是数值分析中求方程根的基本方法之一。当方程 $f(x) = c$ 难以直接求解时，先猜两个值、看偏差、再用线性关系逼近真解——这正是盈不足的思想，也是牛顿迭代法的前身。

它是怎么西传的：《九章算术》的盈不足术经印度、阿拉伯数学家吸收。阿拉伯世界的「hisab al-khata'ayn」（双假设法）、《计算之书》都有记载。12 世纪传入欧洲，斐波那契《算盘书》专章介绍，称为「regula augmenti et diminuti」。欧洲中世纪数学家称它为「elchataym」——音译自阿拉伯语，而阿拉伯语的源头正是汉语「盈不足」经由波斯语的转写。一门算法，横跨三大洲，用了一千五百年。

它的普适性远超出分配题：凡是能通过两次试猜得到「偏多」「偏少」两类偏差的问题，都能套用盈不足框架。中算书里用它解面积、体积、价格、工程等问题，《九章算术》第七章整章都是盈不足。这是中国古代算法抽象能力的铁证。

高中课本关联

方程与消元：本题两式相减即得答案，是二元一次方程组最简单的形式。让学生比较「方程法」与「盈不足法」，理解同一问题的不同解法路径。

线性插值与函数：$f(x)$ 是直线，两点确定一条直线。这对应高中数学「已知两点求一次函数」，也是导数里「以直代曲」的雏形。

近似算法：试值—看偏差—逼近，这是计算数学的基本范式。今天编程求 $\sqrt{2}$、解非线性方程，都用这条思路。让学生体会：有些问题的解法不是公式，而是策略。

数学史与世界交流：一道中国古题如何经阿拉伯传到欧洲、影响中世纪商业计算——这是STEAM教育里难得的跨文化案例。可以让学生查「elchataym」与「盈不足」的词源关联。

思考与拓展

1. 算一算：按术文摆四方阵：右上 6、右下盈 6、左上 7、左下不足 7。交叉相乘后「并之为绢」得 84，「并盈不足为人」得 13。再用方程法 $M = 6n + 6 = 7n - 7$ 验证。

2. 改数据：若「人得五匹，盈四匹；人得八匹，不足十一匹」，用盈不足术求人与绢。（提示：人数 $= \dfrac{4+11}{8-5} = 5$，绢 $= \dfrac{5 \times 11 + 8 \times 4}{3} = \dfrac{87}{3} = 29$。）

3. 两次都是盈：若「人得六匹盈六匹；人得八匹盈二匹」，公式该怎么改？与「一盈一不足」有什么不同？

4. 非整数解：若「人得六匹盈五匹；人得七匹不足三匹」，人数是多少？会不会出现分数？这时答案怎么理解？

5. 近似思维：用盈不足的思路估算 $\sqrt{3}$：先猜 1.7（$1.7^2 = 2.89$，偏小 0.11），再猜 1.8（$1.8^2 = 3.24$，偏大 0.24），用线性插值估一个更准的值，并与真值比较。（提示：这正是牛顿法的雏形。）

一句话总结

右上六、右下盈六，左上七、左下不足七——四个数的交叉相乘，写下了一门从《九章算术》走向全世界的算法。