第11讲 分数减法——九分之八减去五分之一，古人怎么算？

原典

今有九分之八，減其五分之一。問：餘幾何？

答曰：四十五分之三十一。

術曰：置九分、五分在右方，之八、之一在左方。母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十。以少減多，餘三十一，為實。母相乘得四十五，為法。不滿法，以法命之，即得。

——《孙子算经·卷中》

白话翻译

有九分之八，减去它的五分之一，还剩多少？答案是 $\frac{31}{45}$。

方法：把分母 9 和 5 放在右边，分子 8 和 1 放在左边。还是"母互乘子"——用对方的分母乘以自己的分子：$\frac{1}{5}$ 变成 $1 \times 9 = 9$，$\frac{8}{9}$ 变成 $8 \times 5 = 40$。然后"以少減多"，用大的减小的，$40 - 9 = 31$，作为被除数（实）。分母相乘 $9 \times 5 = 45$，作为除数（法）。因为 31 小于 45，所以结果是 $\frac{31}{45}$。

用今天的数学语言写出来，就是：

$$\frac{8}{9} - \frac{1}{5} = \frac{8 \times 5 - 1 \times 9}{9 \times 5} = \frac{40 - 9}{45} = \frac{31}{45}$$

示意图

数学解读

1. 从加法到减法——算法的"迁移"

上一讲我们学了加法，这一讲学减法。孙子的算法几乎一模一样，只有一处不同：加法时"并之"（相加），减法时"以少減多"（相减）。

这个设计非常精妙。孙子没有为减法单独发明一套新算法，而是在"母互乘子"的框架下，把最后一步的"并"换成"減"。这种算法复用的思想，在计算机科学里叫作"代码复用"——同一个函数，参数不同、操作符不同，就能处理不同的运算。

对于教学来说，这也有一个重要的启示：分数加法和分数减法，本质上是同一个通分过程，只是最后的运算不同。 学生如果理解了加法的通分逻辑，减法就只需要记住"把加号换成减号"——不需要重新学一套。

2. "以少減多"——为什么不是"以多減少"？

孙子的表述是"以少減多"，用小的减大的？不对，他实际做的是"從多減少"——从大的里面减去小的。但原文说的是"以少減多"。

这里其实有一个很微妙的数学语言问题。在筹算操作中，孙子的真实意思是：把两个交叉相乘的结果放在算筹上，看哪个大、哪个小，然后用大的减去小的，得到正数。他写"以少減多"是操作指令——"拿"少的去减多的，结果是正的。

这个细节在教学中其实很有价值。很多学生在做分数减法时，会犯一个错误：$\frac{1}{3} - \frac{2}{5}$，他们不假思索地算成 $\frac{1 \times 5 - 2 \times 3}{3 \times 5} = \frac{5 - 6}{15} = -\frac{1}{15}$——这个结果其实是正确的，但学生如果还没学负数，就会觉得"减不动"。孙子用"以少減多"的表述，确保了结果永远是正数——因为他只处理"减数小于被减数"的情况，遇到不够减的，就交换位置。

这其实也反映了中国古代数学的一个特点：尽量避免负数。虽然《九章算术》中已经出现了"正负术"（正负数运算法则），但在日常应用题中，古人更倾向于把问题设计成"大的减小的"，避免负数的出现。这跟现代数学教育中"先学正数运算，再学负数"的路径，竟然如出一辙。

3. 通分的本质——找一个共同的"度量单位"

当我们说"九分之八减去五分之一"时，这两个分数用的"单位"不同——一个是 $\frac{1}{9}$，一个是 $\frac{1}{5}$。就像你不能直接说"8个苹果减去1个橘子"一样，你也不能直接减。

通分要做的事情，就是把两个分数统一到同一个单位下。$\frac{8}{9}$ 和 $\frac{1}{5}$，通分后变成 $\frac{40}{45}$ 和 $\frac{9}{45}$，单位都是 $\frac{1}{45}$。然后就是"40个 $\frac{1}{45}$ 减去 9 个 $\frac{1}{45}$，得到 31 个 $\frac{1}{45}$"。

这个"统一单位"的视角，比单纯记忆"分母乘分母、分子交叉相乘再相减"的步骤，更能帮助学生理解分数减法的本质。

4. 分数减法中的常见错误

根据我多年的教学经验，学生在分数减法中容易犯两类错误：

错误一：分母也相减。 有些学生以为 $\frac{8}{9} - \frac{1}{5} = \frac{7}{4}$（分子减分子，分母减分母）。这个错误在加法中同样常见，根源在于学生把分数误解成了"两个独立的数"，而不是"一个整体的一部分"。

错误二：通分时忘记改分子。 学生知道要找公分母，但常常只改了分母，忘了改分子——比如 $\frac{8}{9} - \frac{1}{5} = \frac{8}{45} - \frac{1}{45}$，然后就卡住了。孙子的"母互乘子"法，恰好避免了这个问题：交叉相乘这一步，实际上就是在做通分的同时改变分子，一步到位，不会漏。

5. 从两步到一步：算法的简洁之美

如果按照现代数学教材的步骤，分数减法要分两步走：

1. 通分：找公分母，把两个分数化成同分母
2. 相减：分子相减，分母不变

而孙子的"母互乘子"法，把这两步合并成一步操作：

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \times d - c \times b}{b \times d}$$

这个公式，右边的分子和分母是同时算出来的——分母是 $b \times d$，分子是 $a \times d - c \times b$。两步并一步，操作更简洁，不容易出错。

高中课本关联

① 分式减法（必修第二册·分式运算）

在高中，分数减法变成了分式减法：

$$\frac{x}{x+1} - \frac{2}{x-1} = \frac{x(x-1) - 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - 3x - 2}{x^2 - 1}$$

这个操作跟孙子的"母互乘子"法完全一致——只是把具体的数字换成了字母。如果学生理解了孙子的算法，分式减法本质上就是"把数字换成字母，其他不变"。

② 方程的移项（必修第一册·一元二次方程）

分数减法还有一个隐藏的应用场景：解分式方程时，移项后需要通分相减。比如 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} = 3$，移项得到 $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} - 3 = 0$，把 3 写成 $\frac{3}{1}$，通分相减，最终化成一个整式方程。这一步的每一步，实际上都在重复孙子的"母互乘子，以少減多"。

③ 数列的递推差（选择性必修第二册·数列）

数列中经常需要计算相邻项的差，比如 $a_{n+1} - a_n$。如果通项公式是分式形式，比如 $a_n = \frac{1}{n}$，那么 $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = -\frac{1}{n(n+1)}$。这个"母互乘子，相减"的操作，在数列求和中经常出现（裂项相消法）。

教学启示

我建议在教分数加减法时，把加法和减法放在一起讲，而不是分开两节课。原因有三：

1. 算法高度一致：加法和减法只有最后一步的不同（"并" vs "減"），可以放在一起对比着讲，学生更容易理解"通分"这个核心概念。

2. 减少记忆负担：学生不需要记两套算法，只需要记住"母互乘子，然后看是加还是减"。

3. 锻炼迁移能力：让学生自己推导出减法公式——"既然加法是交叉相乘再相加，那减法应该怎么做？"——这种"从已知到未知"的推理，比直接给出公式更有效。

思考与拓展

1. 算一算：用"母互乘子"法计算 $\frac{5}{6} - \frac{3}{4}$，再用现代通分方法算一遍。结果一样吗？哪个更简单？

2. 想一想：如果 $\frac{2}{3} - \frac{4}{5}$，交叉相乘后得到 $2 \times 5 - 4 \times 3 = 10 - 12 = -2$，结果是负数。孙子说"以少減多"，如果遇到这种情况，他会怎么处理？

3. 挑战题：$\frac{7}{8} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}$，先算减法再算加法（或者先算加法再算减法），结果一样吗？用"母互乘子"法试试看。

一句话总结

"母互乘子，以少減多，母相乘为法"——分数减法不过是加法的镜像，同一个通分框架，换一个方向而已。