方木作枕——为什么一根方木正好出八枚

原典

今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚。问：得几何？

答曰：二百一十六枚。

术曰：置方三尺，自相乘，得九尺，以高三尺乘之，得二十七尺，以一尺木八枕乘之，即得。

白话翻译

有一根方木，横截面三尺见方，长（高）三尺。现在要拿它做枕头，每枚枕头五寸见方。问能做多少枚？

答案是：二百一十六枚。

术文给的算法是：拿「方三尺」自乘，得九尺；再乘「高三尺」，得二十七尺；最后用「一尺木八枕」去乘，就得到答案。

注意这道题是乘法收尾，不是除法。 前两讲（第 18、19 讲的圆窖方窖）都要「以斛法除之」，本题却反了过来——先把方木体积算成二十七立方尺，再乘上「一立方尺出八枚」。为什么能这么算？因为枕木的体积刚刚好是八分之一立方尺。

示意图

古人的算法

术文三步，每步都能验算。

第一步，截面自乘。 方木横截面三尺见方，面积为

术文「得九尺」——沿用中算省略，乘出来是面积仍记作「尺」。

第二步，乘以长度。

术文「得二十七尺」，同样省略了「立方」。

第三步，以一尺木八枕乘之。

关键在于这个「八」。 一枚枕头五寸见方，体积是

而一立方尺等于 $10 \times 10 \times 10 = 1000$ 立方寸，所以

一立方尺正好出八枚。 这就是术文「一尺木八枕」的来历——它不是约数，是精确值。

也正因为它精确，术文才能用乘法一步收尾：

现代数学视角

用今天的写法，就是最朴素的体积除法：

换成寸来算也一样：方木 $30 \times 30 \times 30 = 27000$ 立方寸，枕木 $5 \times 5 \times 5 = 125$ 立方寸，

两条路殊途同归。 古人选乘法，是因为 1000 这个立方数恰好被 125 整除——选材时五寸这个数让 $1000 \div 125 = 8$ 干净得不能再干净。如果改成四寸枕，$1000 \div 64 = 15.625$，拖泥带水；改成一尺枕，$1000 \div 1000 = 1$，又太显然。五寸正是不大不小、刚好出整数的那个数。

这背后是一条更一般的规律：两个正方体的体积比等于边长比的立方。

本题 $\dfrac{a}{b} = \dfrac{30}{5} = 6$，所以 $N = 6^3 = 216$。一个「三次方」的直接物理意义，就是「每条边上能排下几个」——长、宽、高各六个，总数 $6 \times 6 \times 6$。古今算法的差别只在于：古人把它写成「二十七立方尺乘八」，今天写成「六的三次方」。

高中课本关联

正方体体积：$V = a^3$，以及体积比等于相似比的立方。这是立体几何「相似体体积比」的最简情形，高考中常以「放大模型」的形式出现。

单位换算：1 尺 = 10 寸，从长度换算到体积，进率是 $10^3 = 1000$。这是「长度单位的 $n$ 次方就是 $n$ 维量的单位换算进率」的具体例子。

整除与因数分解：$1000 = 8 \times 125$，而 $8 = 2^3$、$125 = 5^3$。枕木边长五寸，体积 $5^3$；一尺十寸，体积 $10^3$。$10^3 \div 5^3 = 2^3 = 8$——同样的三次方结构，只是底数从 10 换成 2。 这条因式分解的思路在指数运算里很常用。

估算与材料利用：真实切木料时，锯缝要占厚度，木头本身有弯曲缺陷，实际出料会少于 216。古人算的是「理想满切」，今天工程上要加损耗率。可以让学生讨论：若每枚枕木损耗相当于 0.5 寸材料，实际能出多少？

思考与拓展

1. 算一算：按术文重算——$3^2 \times 3 = 27$ 立方尺，$27 \times 8 = 216$ 枚；再用寸验算 $\dfrac{27000}{125} = 216$。两条路都通。

2. 想一想：为什么「一尺木八枕」是精确值而不是估算？如果改成四寸见方的枕木，一立方尺还能出整数枚吗？

3. 换材料：若方木是三尺见方、长一丈（十尺），仍做五寸枕，问得几枚？（提示：体积是原来的几倍？）

4. 从立方到平方：有一块三尺见方的薄板，厚一寸，要裁五寸见方的方片，能裁多少枚？两次都是「体积比」，但这次厚度方向上只有两层——算算看。

5. 相似比：两块正方体木头，边长比是 $3 : 1$，体积比是多少？若大块切小块，最多能切几块？（忽略锯缝）这跟本题的 $6:1$ 有什么共同点？

一句话总结

三尺方木二十七立方尺，一立方尺出八枚——五寸枕的体积恰好是八分之一立方尺，古人数选得准，术文就能一路乘到底。