堤坝求方——梯形截面的第一课

原典

今有堤，下广五丈，上广三丈，高二丈，长六十尺，欲以一千尺作一方。问：计几何？

答曰：四十八方。

术曰：置堤，上广三丈，下广五丈。并之，得八丈；半之，得四丈。以二丈乘之，得八百尺；以长六十尺乘之，得四万八千；以一千尺除之，即得。

白话翻译

有一道堤坝：底部宽五丈，顶部宽三丈，高二丈，长六十尺。现在要计量它用了多少土方（以一千立方尺为一方）。问共几方？

答案是：四十八方。

术文给的算法是：拿上广三丈加下广五丈，得八丈；取半，得四丈——这是堤的「平均宽度」；乘高二丈，得八百平方尺，即横截面积；再乘长六十尺，得四万八千立方尺，即总体积；最后用一千立方尺除，得到方数。

这道题是《九章算术》「方亭」类问题的简化版。 它的精髓在中间那两步：「并之、半之」——上下宽相加取平均。为什么可以这样？因为堤的横截面是梯形，而梯形面积恰好等于「上底加下底的一半，乘高」。

示意图

古人的算法

术文五步，每步都可以对账。

第一步，并上下广。 上广三丈加下广五丈，得八丈。术文「并之，得八丈」。

第二步，半之得均宽。 八丈取半，得四丈。这一步就是梯形的中位线——梯形两腰中点的连线，长度恰为上下底之和的一半。术文用「半之」两个字，道破了梯形面积的核心。

第三步，乘高得截面积。 四丈高二丈，得八平方丈，合八百平方尺。

第四步，乘长得体积。

第五步，折算方数。

答曰四十八方，验算完全吻合。

为什么「并之半之」是对的？ 今天用梯形面积公式：上底 $a = 3$、下底 $b = 5$、高 $h = 2$，面积

术文的「并之得八丈，半之得四丈」，正是先算 $(a+b)$ 再除以二；「以二丈乘之」，正是乘上高。术文把公式拆成了可操作的筹算步骤，与今天的代数式完全等价。 古人不会写 $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$，但他们会一步步做。

现代数学视角

梯形公式的来历：两个全等梯形可以拼成一个平行四边形，底为 $(a+b)$、高仍为 $h$，平行四边形面积 $(a+b)h$，所以梯形是其一半。这个拼补证明是初中几何的标准内容——古人不必知道这个证法，他们从「上下宽取平均」这个丈量经验出发，也得到了同一个公式。

更一般的推广：如果堤坝的截面不是梯形而是曲线（比如土坝的自然休止角），中位线法就不够精确了。这时要把堤沿长度切成许多薄片，每片按梯形（或矩形）算体积再求和——这正是定积分的「微元法」。刘徽注《九章算术》时已经会这么做，他把圆切成许多小扇形再拼起来，就是「割圆术」的思路。积分思想的中国源头，可以从这道题一路数下去。

平均宽度的实用性：今天的工程预算里，算土方仍然常用「平均断面法」——沿施工线路每隔一定距离测一个横断面，相邻两断面取平均面积，乘以间距，累加得总方量。这与术文的「并之半之」是同一件事，只是从 1 段推广到了 1000 段。

同一道题换个数字：如果堤是等宽的（上下广都是四丈），「并之半之」退化为四丈，梯形变矩形，公式仍然成立。能统一处理闸形与矩形，正是梯形公式的好处。

高中课本关联

梯形与多边形面积：高中虽不专门讲梯形，但解析几何、向量题里常见「平面图形面积」的计算。本题的 $(a+b)h/2$ 是最基本的模板之一。

定积分的雏形：高中数学的定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$，几何意义是曲边梯形面积。把它与本题的梯形截面放在一起讲，「分割—近似—求和—取极限」这条线索立刻有了历史纵深。

单位换算的三级跳：本题同时出现了丈（上广、下广、高）、尺（长）、方（体积计量）。上广三丈、高二丈、长六十尺——三种长度单位混在一道题里，正是实务中的常态。今天的学生学「统一单位再运算」，本题是极好的反面样板：古人边走边换，今人先换后走，都对，但后者更保险。

体积与容量的区分：本题的「方」是体积单位（一千立方尺为一「方」），与第 18、19 讲的「斛」这种容量单位不同。土方讲体积，粮食讲容量——古人分得很清楚。

思考与拓展

1. 算一算：按术文五步完整算一遍，核对每一步（八丈、四丈、八百尺、四万八千、四十八方）。

2. 改一改：若上广改为四丈、下广六丈，其他不变，问得几方？结果比本题多还是少？为什么？

3. 公式化：把术文写成一般公式 $N = \dfrac{(a+b)h}{2} \cdot L \div 1000$，并用本题数字代入验证。再解释公式中每一项对应术文的哪一步。

4. 退化情形：若上广等于下广（矩形堤），术文该怎么走？结果与直接用矩形面积公式算是否一致？

5. 小片求和：把这道堤沿长度切成 10 段，假设每段的下广依次从 5 丈渐变到 3 丈，用「平均断面法」估算总方数。切得越多，估算值越接近什么？（提示：这就是积分的雏形。）

一句话总结

上广加下广折一半，再乘高、乘长、除一千——五个筹算动作，写完了梯形截面的全部故事。