平地聚粟：一个数出现在术文里四次

原典

今有平地聚粟，下周三丈六尺，高四尺五寸。问：粟几何？

答曰：一百斛。

术曰：置周三丈六尺，自相乘，得一千二百九十六尺，以高四尺五寸，乘之，得五千八百三十二尺，以三十六除之，得一百六十二尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

白话翻译

平地上堆着一堆粟，底面的周长是三丈六尺，高是四尺五寸。问：这堆粟有多少？

答案是：一百斛。

术文给的算法是：拿三丈六尺自己乘自己，得一千二百九十六尺；拿这个数再乘四尺五寸，得五千八百三十二尺；拿三十六除它，得一百六十二尺；最后拿斛法一尺六寸二分除，就得到答案。

术文里有三个关键换算：一丈是十尺，所以三丈六尺是三十六尺；一寸是十分之一尺，所以四尺五寸是四点五尺；一尺六寸二分是 $1.62$ 尺。

示意图

古人的算法

这道题的术文长得罕见，把每一步的中间结果都写了出来。这种写法在《孙子算经》里不多见——通常术文只说做什么，不说得到几。逐句读，能看清古人脑子里那条链。

第一句：「置周三丈六尺，自相乘，得一千二百九十六尺。」

三丈六尺，一丈十尺，所以是三十六尺。三十六自乘：

古人把这个数叫「尺」，它其实是平方尺。他们先把它当作一个面积放着，但紧接着要拿它去乘高，所以它眼下只是底面积的替身——一个等会儿要圆的底面积。

第二句：「以高四尺五寸，乘之，得五千八百三十二尺。」

四尺五寸，一寸是十分之一尺，所以高是四点五尺：

这个数不再是平方尺。三十六自乘是平方，再乘一个长度，成了立方。古人照样写作「尺」，因为这个数只是体积的原料。

第三句：「以三十六除之，得一百六十二尺。」

这是全题最要紧的一句，也最容易被囫囵读过。

为什么偏偏除三十六？因为三十六正是底面周长。这一步实质上是在把圆变成方。

周长三十六尺，在「径一周三」的约定下，直径是十二尺，半径六尺。圆面积取圆周率为三，得 $3 \times 6^2 = 108$ 平方尺，恰好是 $1296 \div 12$——外切正方形缩成十二分之一，剩下的就是圆。

再乘四点五尺的高，得 $108 \times 4.5 = 486$ 立方尺，这是同底同高圆柱的体积。除以三得圆锥的体积，$486 \div 3 = 162$。

看到了吗：三十六这个数，一来一回用了两次。第一次是把外切正方形面积换成圆面积，除十二；第二次是圆柱换圆锥，除三。十二乘三就是三十六，所以古人把两步合成一步，只写一个「三十六」。术文里那个孤零零的三十六，实际是「圆周率的约定」加「圆锥的公式」压在一起的一个数。

第四句：「以斛法一尺六寸二分除之，即得。」

一尺六寸二分，就是一尺加六寸加二分。一寸是十分之一尺，二分是十分之二尺——古人用的是十进制小数，所以这个数写作 $1.62$ 尺：

除出来正好一百，一个零头都没有。「斛法」是容积与长度的换算标准：一斛粟占多少立方尺。这里的一尺六寸二分，正是本卷第 2 讲讲度量衡时打下的底子。

四步连起来，就是一条完整的换算链：

一百斛。术文说得一字不差。

现代数学视角

这道题的价值不在答案，在它把三个层次的问题叠在了一道题里。

第一层：单位换算。 三丈六尺、四尺五寸、一尺六寸二分，都是复合单位。今天的做法是先全部化成小数——三十六尺、四点五尺、一点六二尺——再一口气算完。古人不是这样，他们把「一丈十尺」「一寸十分之一尺」这些关系记在心里，算到哪一步换到哪一步。数学上等价，思维上不同：今天是先统一再运算，古人是边运算边统一。 前者更省心，后者对熟悉度量衡的人也更不容易串单位。

第二层：一个数里藏着两件事。 把术文翻译成今天的圆锥体积公式，古法相当于

分母上的三十六，一半来自「圆面积是外切正方形的十二分之一」，一半来自「圆锥是同底圆柱的三分之一」。今天把两件事分开写成两个公式，古人把它们压成一个常数。 常数的好处是算得快，坏处是看不出道理——不熟悉古法的人看到「除以三十六」，只会以为是三十六这个数有什么神奇，不知道它是两个约定叠出来的。

第三层：几何模型的抽象。 「平地聚粟」四个字，把一堆不定形的粟，抽象成了一个圆锥：忽略颗粒之间的缝隙，忽略堆顶不会是绝对的尖，忽略底边略有起伏，抓住「圆底、尖顶、均摊」这个主要特征。把现实里的东西换成一个算得出来的形状，这就是数学建模最初的那一步。 今天的学生学三视图、学「求不规则物体的体积」，做的是同一步工作，工具更精细，思路一模一样。

顺带一个测量误差的问题。改用今天的圆周率重算：半径 $36 \div 2\pi \approx 5.73$ 尺，圆锥体积约等于 $154.7$ 立方尺，换成斛约等于 $95.5$ 斛。古人给一百斛，高估了百分之四点七。一堆堆在地上的粮，底周长和高都是拿绳子量的，百分之五完全在测量误差之内，工程上无所谓。

高中课本关联

圆锥的体积：这道题就是公式 $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ 的一次古代演算。高中生会算这个公式，但值得知道：公式是结果，古人给的是从结果倒推回去的完整算法。 课本问「已知底面半径和高，求体积」，古人问「量得出周长和高，怎么算出多少斛」——同一个公式，两头对望。

立体几何里的「化圆为方」：卷中第 21 讲讲「圆田求积」，第 26 讲讲把圆转成方，跟这道题是同一族算法。用正方形逼近圆，是中国古算处理曲线图形的通用手法；今天对应的思路是极限与微积分里的「以直代曲」。

近似与误差：圆周率取三带来的百分之五误差，是近似计算的好例子。这里可以问的不是「保留几位有效数字」，而是另一个问题：近似到什么程度够用？ 量一堆粮，百分之五不耽误事；算一条轨道，百分之五就是事故。工程上的判断标准从来跟用途绑在一起。

数列：如果改成「往上再垒第二层」——层层叠上去，每层都比下一层小一圈，总高度不变——粮堆就不只是一个圆锥，而是一串相似圆锥之和，这会变成一道数列求和题。堆粮的真实形状，本来就更接近这个模型。

思考与拓展

1. 换一组数：若下周五丈四尺，高五尺，仍按古法，这堆粟多少斛？（提示：五十四尺自乘得二千九百一十六，乘五得一万四千五百八十；除以三十六是四百零五，四百零五除以一点六二是多少？）

2. 反着问：若有粟二百斛，堆在地下周三十六尺，问这堆多高？（提示：二百斛乘一点六二是三百二十四立方尺，再倒着推回去。）

3. 折算成圆柱：同样底周三十六尺、高四尺五寸，若堆成圆柱，是多少斛？圆锥只有它的几分之几？

4. 改圆周率：改用今天的圆周率重算本题，答案是多少斛？与一百斛差多少？差出来的百分之几，是古人算错了，还是取值不同？

一句话总结

一堆粟一百斛——术文里的三十六不是凭空来的，它把「圆化方」和「圆锥是三份圆柱」两步合成了一步；这是古人省算筹的手法，也是后人读古算最容易看漏的一处。