第6讲 方圆之率——周三径一，方五邪七

原典

周三，径一。

方五，邪七。

见邪求方，五之，七而一；见方求邪，七之，五而一。

——《孙子算经·卷上》

白话翻译

圆的周长是直径的三倍。正方形对角线长度，边长五的时候，对角线大概是七。反过来，知道对角线求边长——乘以五除以七；知道边长求对角线——乘以七除以五。

"周三径一"是个近似公式——圆周率的近似值取3。"方五邪七"则是正方形对角线与边长的比例近似——$\sqrt{2} \approx \dfrac{7}{5} = 1.4$，而真实值约1.414，误差不到百分之一。

古人用这两个近似值，解决了一切日常里的圆和方有关的计算问题，而且比精确值好用多了——全是整数运算，拿算筹就能算。

示意图

数学解读

1. 周三径一——最简单的圆周率

孙子算经里写"周三径一"，意思是：圆的周长 $C$ 和直径 $d$ 的关系是

$$C = 3d \qquad (1)$$

换句话说，它把圆周率 $\pi$ 近似取成了3。

我们现在知道，$\pi$ 的真实值是 3.1415926535……，所以孙子这个近似值偏小了大约 4.5%。乍一听误差挺大，但放在两千多年前的历史背景里——这个近似值已经相当不错了。

你看古埃及的莱因德纸草书（约公元前1650年），他们用的 $\pi$ 近似值是

$$\pi \approx \left(\frac{16}{9}\right)^2 \approx 3.1605$$

古印度的《素多耶陀伽》（约公元前6世纪），用的是

$$\pi \approx \sqrt{10} \approx 3.1623$$

相比之下，孙子算经的 $\pi=3$ 虽然精度不如这两个，但优势在于——好算。3 是整数，乘除起来毫无障碍。在农耕时代，丈量一块圆形田地，你不需要精确到小数点后几位，3倍就够了。

2. 方五邪七——正方形的对角线公式

"方五邪七"的意思是：边长为5的正方形，对角线长约7。也就是

$$\text{对角线} \approx \frac{7}{5} \times \text{边长} = 1.4 \times \text{边长} \qquad (2)$$

真实值是多少？勾股定理告诉我们，正方形对角线与边长的关系是

$$d = a\sqrt{2}$$

而 $\sqrt{2} \approx 1.41421356\ldots$，所以

$$\frac{7}{5} = 1.4, \qquad \sqrt{2} \approx 1.414$$

误差只有不到 1%——比"周三径一"的精度还高。

这个近似分数 $\dfrac{7}{5}$ 在数学史上很有名。它是 $\sqrt{2}$ 的连分数渐近分数之一，后面还有 $\dfrac{17}{12}$、$\dfrac{41}{29}$、$\dfrac{99}{70}$……精度越来越高。孙子算经选 $\dfrac{7}{5}$，是因为分子分母都小，算筹摆出来直观，适合教学。

3. 逆运算：见方求邪、见邪求方

原文接着给出了两个逆运算：

见邪求方，五之，七而一；

意思：已知对角线（"邪"就是斜边，即对角线），求边长——乘以五，再除以七。

$$a = \frac{5}{7} d \qquad (3)$$

见方求邪，七之，五而一。

意思：已知边长，求对角线——乘以七，再除以五。

$$d = \frac{7}{5} a \qquad (4)$$

这两个公式互为逆运算，逻辑非常对称。

我们验证一下：假设一个正方形边长 $a = 10$，用公式(4)算对角线：

$$d = \frac{7}{5} \times 10 = 14$$

真实值 $d = 10\sqrt{2} \approx 14.14$，误差约1%，完全可接受。

反过来，如果对角线 $d = 14$，用公式(3)反推边长：

$$a = \frac{5}{7} \times 14 = 10$$

完美还原，因为两个公式互为逆运算，没有累积误差。

4. 圆面积的计算方法

孙子算经没有直接给出圆面积公式，但从"周三径一"可以推导出它的隐含逻辑：

如果 $C = 3d$，且圆的面积传统上被认为等于"半周半径"（这是中国古代的共识），那么

$$S = \frac{1}{2} C \times r = \frac{1}{2} \times 3d \times \frac{d}{2} = \frac{3}{4}d^2 \qquad (5)$$

用半径表示：

$$S = \frac{3}{4}(2r)^2 = 3r^2 \qquad (6)$$

也就是说，孙子算经体系下的圆面积公式是 $S = 3r^2$，而不是我们今天用的 $S = \pi r^2$。误差约4.5%，但在实际丈量土地时，这个精度已经完全够用。

5. 为什么是近似值？——实用主义的数学观

现代人可能会觉得：用近似值做数学是不是不严谨？

恰恰相反。孙子算经的选择体现了一种实用主义数学观——在精度够用且计算简便之间找平衡。

举个例子：你需要计算一块直径20丈的圆形田地的周长。

• 按孙子算法：$C = 3 \times 20 = 60$ 丈
• 按真实 $\pi$：$C = 20\pi \approx 62.83$ 丈

差了2.83丈，但这是在2000多年前的土地上，这2.83丈的误差完全在可接受范围内。而且，60丈是个整数，丈量时一眼就出结果；62.83丈，你要拿算筹一个一个算，半天算不完。

这就是古代数学的特点——不求无穷精确，但求够用好算。 这种思想在今天依然存在：天气预报说"今天有雨"，你不会追问降水量是精确到小数点后几位；工程制图中的 tolerances（公差）也是这个道理——在允许的误差范围内，尽量简化。

高中课本关联

① 圆周率与极限思想（选择性必修·数列与极限）

孙子算经的"周三径一"本质上是在用一个常数（$\pi \approx 3$）来近似一个无理数。这跟微积分里的极限思想有相通之处——用有理数逼近无理数。

我们知道，$\pi$ 是一个无限不循环小数，无法用有限位数精确表示。但历代数学家一直在寻找更好的有理近似：

$$\pi \approx 3 \quad \text{（孙子，误差约4.5\%）}$$ $$\pi \approx \frac{22}{7} \approx 3.1429 \quad \text{（阿基米德，误差约0.04\%）}$$ $$\pi \approx \frac{355}{113} \approx 3.1415929 \quad \text{（祖冲之，误差约 } 3\times10^{-7}\% \text{）}$$

祖冲之的 $\dfrac{355}{113}$ 领先西方一千多年，被德国人奥利留斯命名为"Milü"（密率）。孙子算经的 $\pi=3$ 是这一传统的起点。

② 勾股定理与 $\sqrt{2}$（必修第二册·立体几何与解析几何）

"方五邪七"本质上是勾股定理的一个特例——正方形对角线是边长的 $\sqrt{2}$ 倍。

$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies d = a\sqrt{2}$$

$\sqrt{2}$ 是人类历史上第一个被发现的无理数。毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现它时，据说被扔进了海里——因为这与他们的"万物皆数"（一切都可以表示为整数比）信念冲突。

孙子算经选择了 $\dfrac{7}{5}$ 这个有理近似值，回避了无理数的哲学困境，这是中国古代数学务实一面的典型体现。

③ 误差分析与函数近似（选择性必修·导数与近似计算）

从高中数学的角度来看，"方五邪七"就是一个线性近似——用一条直线 $d = \dfrac{7}{5}a$ 来近似曲线 $d = \sqrt{2}\,a$。

如果我们定义误差函数：

$$\varepsilon(a) = \left|\frac{7}{5}a - \sqrt{2}\,a\right| = \left(\sqrt{2} - 1.4\right)a \approx 0.0142\,a$$

相对误差：

$$\frac{\varepsilon}{\text{真实值}} = \frac{\sqrt{2} - 7/5}{\sqrt{2}} \approx \frac{0.0142}{1.4142} \approx 1\%$$

这种"用简单公式近似复杂函数"的思想，正是微积分里泰勒展开的核心——只不过孙子用的是一个常数系数，而不是一个多项式。

教学启示

讲这节课的时候，我建议让学生做一个小实验：

拿一根绳子，围成一个圆，量出周长和直径，看看比值到底是多少。

很多学生第一次亲手量的时候，会发现比值不是整数，而是"大概3点多"。这个体验非常直观——它会让他们对"近似值"和"精确值"的区别有深刻感受。

然后你可以追问：如果圆周率真的是3，世界会变成什么样？ 圆面积变成 $3r^2$ 而不是 $\pi r^2$，圆的周长公式从 $2\pi r$ 变成 $6r$。一切计算都变简单了，但画出来的圆会"有点变形"——你用手比一下，想象一个真正圆的周长只有直径的3倍，它会是什么形状？

这个问题没有标准答案，但它能让学生理解：数学模型总是对现实的近似，重要的是知道近似在什么情况下可用，以及在什么情况下需要更精确的模型。

思考与拓展

1. 算一算：一个圆的直径是10丈，按"周三径一"算周长是多少丈？按真实 $\pi$ 算呢？误差多少？

2. 想一想：$\dfrac{7}{5} = 1.4$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，误差约1%。你能找到另一个更精确的分数近似吗？提示：试试 $\dfrac{17}{12}$ 或 $\dfrac{99}{70}$，它们的误差分别是多少？

3. 查一查：祖冲之的密率 $\dfrac{355}{113}$ 是怎么算出来的？它比孙子算经的 $\dfrac{7}{5}$ 精确了多少倍？（提示：对比两个分数的误差）

一句话总结

孙子算经用"周三径一"和"方五邪七"两个近似公式，分别处理圆和方的计算问题——不求极致精确，但求够用好算，这就是古代实用主义数学的最高智慧。