五等诸侯分橘——等差数列藏在爵位里

原典

今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗。问：五人各得几何？

答曰：公一十八颗，侯一十五颗，伯一十二颗，子九颗，男六颗。

术曰：先置人数别加三颗于下，次六颗，次九颗，次一十二颗，上十五颗，副并之，得四十五，以减六十颗，余人数除之，得人三颗，各加不并者，上得一十八颗为公分，次得一十五为侯分，次得一十二为伯分，次得九为子分，下得六为男分。

白话翻译

有五等诸侯（公、侯、伯、子、男），共同分六十颗橘子。每人额外加三颗——等级每低一等，就多减三颗。问五人各得多少？

答案是：公得十八颗，侯得十五颗，伯得十二颗，子得九颗，男得六颗。

术文的算法是：先在下方摆「每人减三颗」，往上依次是六颗、九颗、十二颗，最上方是十五颗；把这些加起来得四十五；拿六十减四十五，余数除以人数五，得每人三颗；再把原先减掉的数各自加回去，就得到五人的份数。

这道题结构极简，但埋了一个漂亮的等差数列：答案 18、15、12、9、6，逐级少三颗。而术文「人别加三颗于下，次六颗，次九颗……」摆的正是这套差额——只是方向相反。

示意图

古人的算法

术文四步，逻辑像剥洋葱。

第一步，列出五等人的「加数」。 「人别加三颗于下」——最低的「男」加三颗；往上依次是「子」加六颗、「伯」加九颗、「侯」加十二颗、「公」加十五颗。也就是

为什么要先加？ 因为这是「分摊差额」的标准技巧：若五人的最终分配是公差为 $-3$ 的等差数列，那么把它整体上移，使最低者变成 0，就是一个公差为 3 的等差数列。术文反其道而行——先把高爵位多出的部分「扣」下来算总量，剩下的部分五人平分。

第二步，副并之。 把这五个加数相加：

第三步，以减总数。 $60 - 45 = 15$。

第四步，余人数除之。 $15 \div 5 = 3$。这就是基准值——假设五人完全平等的份数。

第五步，各加不并者。 把先前扣下的差额各自加回：

与答曰完全一致。验算：$6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 60$，正好分完。

现代数学视角

用今天的工具，这是一道标准的等差数列题。

设五人的份数为公差 $d = -3$ 的等差数列，首项（公）为 $a_5$，末项（男）为 $a_1$，共 5 项，总和 60。

又 $a_5 = a_1 + 4d = a_1 - 12$，联立：

所以 $a_5 = 6$，五项为 18、15、12、9、6。

术文的聪明之处：它不确立首项末项，而是先把「高爵位多出来的部分」扣掉，把问题化为五人平分——$15 \div 5 = 3$。这是「消去变量」的朴素版本：把等差数列分解成「常数项 + 公差项」，常数项平分，公差项按位置加。今天讲等差数列通项

术文做的正是分离 $a_1$ 与 $d$。

爵位与等差：古代爵位制度确实有「递减」的分配逻辑——天子、公、侯、伯、子、男，每一级享有的礼制、封地、俸禄逐级递减。这道题用「人别加三颗」把这一制度抽象成了数学：级差固定、项数固定、总和固定，求各项。 这类问题在《九章算术》「衰分」章大量出现，是配分制度的数学化。

高中课本关联

等差数列：通项 $a_n = a_1 + (n-1)d$、前 $n$ 项和 $S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$。本题是已知 $n$、$S_n$、$d$ 求各项的完整范例。

方程与消元：术文「扣差额、求基准、加回去」，对应今天的「设公比为 $d$，列方程解 $a_1$」。这是把复杂问题化为简单问题的一般方法。

制度与数学的关系：可以让学生查一查周代五等爵制的实际内容（封地、车马、礼乐规格），讨论「等差分配」在礼制中的意义——数学结构从何而来。

验算：$18+15+12+9+6 = 60$。任何分配题做完都要验算总和，这是最基础的自检习惯。

思考与拓展

1. 算一算：按术文重算——加数 3/6/9/12/15 和为 45，$60-45=15$，$15 \div 5 = 3$，各自加回得 18/15/12/9/6；并验算总和为 60。

2. 用公式：用 $S_5 = \dfrac{5(a_1+a_5)}{2} = 60$ 与 $a_5 = a_1 - 12$ 联立求解，看是否得同样答案。比较两条路径的优劣。

3. 改数据：若橘子改为 100 颗，「人别加三颗」不变（仍是 5 人），答案是多少？此时是否仍成等差？公差变了吗？

4. 改级差：若改为「人别加五颗」，60 颗橘子五人分，答案如何？公差是多少？由此说明题目给的「加数」就是公差。

5. 生活版：运动会设冠军、亚军、季军、第四、第五五档奖金共 60 万，档差固定为 3 万，问各档奖金多少？编出题目并解答。

一句话总结

先把高爵位多出的三颗、六颗、九颗扣下来求基准，再一颗颗加回去——术文没有通项公式，却把等差数列拆得比今天还直观。