孙子算经 · 第 30 讲 · 2026-10-16 · 约 11 分钟

有积求周——从圆面积倒推周长

今有积三万五千步，问为圆几何？答曰六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。这道题是第26讲的回转：面积已知，反求圆的周长。解法只有一句关键的「以十二乘之」——因为周三径一，周长平方除以十二正是圆面积，反过来就要乘十二。一步乘回去，开方就得答案。

原典

今有积，三万五千步。问为圆几何？

答曰：六百四十八步一千二百九十六分步之九十六。

术曰：置积三万五千步以一十二乘之，得四十二万，为实，次借一算为下法，步之超一位至百而止。上商置六百于实之上，副置六万于实之下。下法之上，名为方法，命上商六百除实，除讫，倍方法，方法一退，下法再退，复置上商四十以次前商，副置四百于方法之下。下法之上，名为廉法，方廉各命上商四十以除实，除讫，倍廉法，方法一退，下法再退，复置上商四，副置四于方法之下。下法之上，名曰隅法，方廉隅各命上商四以除实，除讫。

白话翻译

有一块圆田，面积三万五千平方步。问它的周长是多少？

答案是：六百四十八步，再加一千二百九十六分之九十六步。

术文给的算法是：把面积三万五千步乘十二，得四十二万，作为「实」；然后借一枚算筹作下法，逐位退至百位；接着上商六百、四十、四，按第 26 讲「有积求方」的方法开方，最后得六百四十八，余数用分数表示。

这道题真正的机关在最开头四个字：「以十二乘之」。 为什么已知面积求周长，第一步反而是乘十二？

示意图

有积求周：面积乘十二得周长平方，再开方

图：35,000 × 12 = 420,000 = 周²；开方得 648 余 96，答案 648 又 96/1296 步

古人的算法

第一步，面积乘十二。

35000 \times 12 = 420000

术文「以十二乘之，得四十二万」。

为什么是十二？ 这正是第 18 讲「圆窖受粟」用过的关系。古率周三径一，即 $\pi \approx 3$ ，圆面积

S = \frac{C^2}{4\pi} = \frac{C^2}{12}

所以周长平方 = 面积 × 十二。 已知面积要反求周长，就得先把面积乘回十二，得到 $C^2$ ：

C^2 = S \times 12 = 420000

第二步，开方求周长。 这就回到了第 26 讲的算法——「有积求方」。实是 420000，平方根是周长。

先夹逼：

648^2 = 419904, \qquad 649^2 = 421201

420000 落在两者之间，且离 648 更近。余数

420000 - 419904 = 96

于是答案写成分数形式。分母同样来自「倍方法」：

2 \times 648 = 1296

所以

C = 648 + \frac{96}{1296} = 648\frac{96}{1296}

可约分： $\dfrac{96}{1296} = \dfrac{2}{27}$ ，所以更简洁的形式是 $648\dfrac{2}{27}$ 步。答曰写「一千二百九十六分步之九十六」，是不约分的原始形态——中算常保留推算过程中的分母，便于读者复算。

验算一下精度：

648\frac{2}{27} \approx 648.0741

用今天的话： $\sqrt{420000} \approx 648.0741$ 。二者一致。再反推面积：

S = \frac{C^2}{12} \approx \frac{648.0741^2}{12} \approx \frac{420000.03}{12} \approx 35000.003

与题目所给 35000 步吻合到小数点后三位。

现代数学视角

用今天的公式链：已知圆面积 $S$ ，求周长 $C$ 。

S = \pi r^2, \qquad C = 2\pi r

消去 $r$ ：由第二式 $r = \dfrac{C}{2\pi}$ ，代入第一式

S = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \frac{C^2}{4\pi}

所以

C^2 = 4\pi S, \qquad C = \sqrt{4\pi S}

古人取 $\pi = 3$ ，于是 $4\pi = 12$ ，公式变成 $C = \sqrt{12S}$ 。 这就是「以十二乘之，然后开方」的全部来历——一步乘法把「圆」化成了「方」，剩下的交给第 26 讲的算法。

若改用 $\pi = 3.14$ ，同样面积 35000 步的圆周长为

C = \sqrt{4 \times 3.14 \times 35000} = \sqrt{439600} \approx 662.9\ \text{步}

比古法的 648 步大了 $\dfrac{662.9 - 648}{648} \approx 2.3\%$ 。古率把圆算小了——这与第 18 讲粮窖「估大偏安全」相反，因为这里是同一面积的另一种度量： $\pi$ 取小了，等面积下反推出的周长就小。

两道题是一对漂亮的互逆运算：第 18 讲「已知周长深求容积」是「先平方再除十二」；本题「已知面积求周长」是「先乘十二再开方」。乘除互逆、平方开方互逆，古人在两题里把这两组逆运算都用上了。把它们排在一起读，就能看出中算书的编排逻辑——不是按难度，是按算法对的。

高中课本关联

逆运算与方程思想：已知 $S$ 求 $C$ ，是解方程 $\dfrac{C^2}{12} = S$ 。今天学生学「换元法」「逆运算解方程」，本题是同一思维的古代版本——把圆问题乘一个数变成方问题，解完再对应回去。

算术平方根： $C = \sqrt{420000}$ 。注意这里只取正根——边长、周长都是正量，负根没有实际意义。这是「算术平方根」与「平方根」区别的最好教材。

二次函数与反函数： $S = \dfrac{C^2}{12}$ 是开口向上的抛物线，已知 $S$ 求 $C$ 是在正半轴上取它的反函数。让学生在图上描出 $(648, 35000)$ 与 $(648.07, 35000)$ 两点，「几乎水平」的直观立刻就出来了。

近似与精度： $\pi = 3$ 与 $\pi = 3.14$ 造成 2.3% 的差异。讨论这个差异该由谁负责——是算法错了，还是常数取得粗？答案显然是后者。这类讨论能帮助学生区分方法误差与参数误差。

思考与拓展

算一算：验算 $35000 \times 12 = 420000$ 、 $648^2 = 419904$ 、 $420000 - 419904 = 96$ 、 $2 \times 648 = 1296$ ，复现答案 $648\dfrac{96}{1296}$ 。
约分：把 $\dfrac{96}{1296}$ 约成最简。古人为啥不约？写出你的猜想。
两题对照：第 18 讲是「已知周长深求容积」，本题是「已知面积求周长」。分别写出两步算法的口诀（第 18 讲：平方、乘、除十二、除斛法；本题：乘十二、开方），说明它们的互逆关系。
换常数：若用 $\pi = 3.14$ ，公式 $C^2 = 4\pi S$ 中的常数变成多少？重算本题，与古法 648 步比较误差。
反问题：若一块圆田周长 648 步，用古率反推面积是多少？再用 $\pi = 3.14$ 推，两者差多少？

一句话总结

乘十二把圆化成方，开方把方解出来——「以十二乘之」四个字，藏着周三径一的全部秘密。

— Y. · 2026-10-16

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