孙子算经 · 第 23 讲 · 2026-10-09 · 约 9 分钟

圆窖受粟（另题）——一道数字凑得刚刚好的圆仓题

圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？答曰二千七百斛。这道题是第 18 讲的姊妹篇，数字更小，而且答案正好凑成整数——周平方 2916，乘深得 52488，除以 12 得 4374，再用斛法一尺六寸二分一除，恰好 2700。古人选数选得恰到好处。

原典

今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺。问：受粟几何？

答曰：二千七百斛。

术曰：先置周五丈四尺相乘，得二千九百一十六尺，以深一丈八尺乘之，得五万二千四百八十八尺；以一十二除之，得四千三百七十四尺，以斛法一尺六寸二分除之，即得。

白话翻译

有一个圆柱形粮窖，底面周长五丈四尺，深一丈八尺。问能装多少斛粟米？

答案是：二千七百斛。

术文给的算法是：先把周长五丈四尺自乘，得二千九百一十六；再用深一丈八尺乘它，得五万二千四百八十八；拿十二除这个数，得四千三百七十四；最后用斛法「一尺六寸二分」除，就得到答案。

注意术文比第 18 讲更讲究：它没有停在「周三十二」这一步，而是把「周一自乘、以深乘之、以十二除之」这条完整路径一步步写了出来，数字也标得清清楚楚。第 18 讲的术文只说了「径自相乘，以深乘之，十二而一」，没给中间结果——那道题数字大（周长二百八十六尺），中间数不便口算；本题数字小，正好适合当入门的演算范例。

示意图

圆窖受粟（另题）：周四步算法的完整链条

图：周四步——周²＝2916，×深＝52488，÷12＝4374，÷斛法 1.62＝2700，处处整除

古人的算法

术文四步，每步一个整数，可以逐一验算。

第一步，周自乘。 $54^2 = 2916$ ——术文「得二千九百一十六尺」。

第二步，以深乘之。 $2916 \times 18 = 52488$ ——术文「得五万二千四百八十八尺」。

第三步，以十二除之。 $52488 \div 12 = 4374$ ——术文「得四千三百七十四尺」。

为什么偏偏是十二？ 这一步是全题的数学核心。圆周 $C$ 与底面积 $S$ 的关系是

S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \frac{C^2}{4\pi}

古代算圆用「周三径一」，即 $\pi \approx 3$ ，代进去：

S = \frac{C^2}{4 \times 3} = \frac{C^2}{12}

「十二」正是 $4\pi = 4 \times 3$ 的产物。 古人不用代数式，但「周三十二」这个口诀把 $4\pi$ 打包写进了一个数里。所以第三步的实质是：用周三径一，从周长反推底面积。

第四步，以斛法除之。 斛法「一尺六寸二分」指一斛粟占多少容积——1 尺 6 寸 2 分，换成十进制就是 $1.62$ 尺（1 寸 = 0.1 尺，1 分 = 0.01 尺）。于是

N = \frac{4374}{1.62} = 4374 \times \frac{100}{162} = 4374 \times \frac{50}{81}

算一下： $4374 \div 81 = 54$ ，所以 $54 \times 50 = 2700$ 。

N = 2700\ \text{斛}

这道题的数字是设计过的。 $4374$ 能被 $81$ 整除（ $4374 = 54 \times 81$ ），而 $162 = 2 \times 81$ ，所以除以 $1.62$ 恰好得整数。古代算家编题时专门挑了这种「处处整除」的数，让筹算不必处理分数——这正是 facts.json 称它为「整数斛的简便题」的原因。

现代数学视角

把古法翻译成今天的式子，只有一行。

设周长 $C = 54$ 尺、深 $h = 18$ 尺。古法取 $\pi = 3$ ，则底面积与体积为

S = \frac{C^2}{12}, \qquad V = \frac{C^2 h}{12}

代入：

V = \frac{54^2 \times 18}{12} = \frac{2916 \times 18}{12} = \frac{52488}{12} = 4374\ \text{立方尺}

再用「每斛 1.62 立方尺」折算：

N = \frac{4374}{1.62} = 2700\ \text{斛}

古法与今法的差别只在 $\pi$ 取多少。 若取 $\pi \approx 3.14$ ：

V = \frac{54^2}{4 \times 3.14} \times 18 = \frac{2916}{12.56} \times 18 \approx 232.17 \times 18 \approx 4179\ \text{立方尺}

N \approx \frac{4179}{1.62} \approx 2579\ \text{斛}

古率估出来比精确值高约 4.7%——因为 $\pi = 3$ 比真值小，分母 $4\pi$ 偏小，算出的底面积就偏大。对粮窖这种「最多能装多少」的问题，估算偏高反而是安全的（按少的算不够用）。这是工程上常见的选择：宁可用偏保守的近似，也不用会出错的精确。

斛法是个经验常数。 「一尺六寸二分」不是数学推出来的，是量出来的——一斛粟米实际堆起来占多大体积，跟米粒大小、空隙多少都有关系。它相当于今天的「容积密度」： $1.62$ 立方尺每斛 $\approx 0.65$ 立方米每斛，按今天的度量折算约合每百升 65 升左右的松散密度，量级合理。古代算书里有大量这类「法」——不是公式，是行业标准值。

高中课本关联

圆的周长与面积：本题是 $C = 2\pi r$ 、 $S = \pi r^2$ 的联用。由周长反求面积的推导

S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 = \frac{C^2}{4\pi}

本身就是一个漂亮的代数练习——消去 $r$ ，得到不含半径的面积表达式。今天做解析几何、物理题时，「已知周长求面积」还是常见套路。

圆柱体积： $V = Sh$ ，四棱柱、圆柱通吃。本题就是它的最原始应用场景之一。

近似计算与误差： $\pi = 3$ 与 $\pi = 3.14$ 造成约 4.7% 的差异，是「近似值影响最终结果」的现成例子。可以让学生算：如果窖更大（周长五百四十尺），这个相对误差会变大还是变小？（答案：不变——两边同乘，误差率与尺寸无关。）

整除与约分： $4374 \div 1.62 = 4374 \times \dfrac{50}{81}$ ，而 $4374 = 54 \times 81$ ，所以约分后得 $54 \times 50 = 2700$ 。这是分数化简的实战：先识别公因数，再约，比直接除小数干净得多。

思考与拓展

算一算：按术文四步完整算一遍—— $54^2$ 、 $\times 18$ 、 $\div 12$ 、 $\div 1.62$ ，核对每步是否得术文所列的数（2916、52488、4374、2700）。
想一想：术文第三步「以十二除之」的「十二」是怎么来的？若改用 $\pi = 3.14$ ，这一步该除以几？请写出一般公式。
对比题：第 18 讲圆窖周长二百八十六尺、深三十六尺，答案约二万斛。本题周长五十四尺、深十八尺，答案二千七百斛。请分别算出两题的周长与深度之比、答案之比，看它们是否一致，并解释为什么。
探究题：保持周长五丈四尺不变，把深度改成三丈六尺（翻倍），容积和斛数各变为多少？这体现了体积与深的什么关系？
误差题：用 $\pi = 3$ 与 $\pi = 3.14159$ 分别计算本题容积，求相对误差。再把周长放大十倍重算，相对误差变了吗？由此能得出什么结论？

一句话总结

周²×深÷12÷1.62——四个数一排开处处整除，古人为筹算挑的数，恰好把周三径一和斛法都凑成了整数。

— Y. · 2026-10-09

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