第8讲 粟米换算——三之五而一的古代粮食算法

原典

以粟求粝米，三之，五而一。

以粝米求粟，五之，三而一。

以粝米求饭，五之，二而一。

以粟米求粝饭，六之，四而一。

以粝饭求粝米，二之，五而一。

以凿米求饭，八之，四而一。

——《孙子算经·卷上》

白话翻译

这几个公式翻译成人话是这样的：

• 要把粟（带壳稻谷）碾成粝米（糙米），乘以三再除以五。
• 反过来说，知道粝米多少，想算出原来有多少粟——乘以五再除以三。
• 要把粝米煮成饭，乘以五再除以二。
• 要从粟米（去壳后的米）算粝饭，乘以六再除以四。
• 要从粝饭算回粝米，乘以二再除以五。
• 要把凿米（精米）煮成饭，乘以八再除以四。

"三之五而一"就是"乘三除五"，"五之三而一"就是"乘五除三"——这种表达方式在古代数学里很常见，用"之"连接操作顺序。

示意图

数学解读

1. 什么是"粟"和"粝米"？

在讲换算之前，先搞清楚这些字的意思。

粟，就是带壳的稻谷，也叫"谷子"。中国古代最主要的粮食作物，北方尤其如此。

粝米，就是把粟去掉外壳后得到的糙米，米粒表面还带着一层米糠，没有精细加工。

凿米，是比粝米更精细的加工品，接近我们今天说的精白米。

粝饭和饭，就是用粝米或凿米煮出来的米饭。

古代人把粮食从原料到餐桌的全过程，分成好几个加工步骤，每一步都有对应的出米率——这就是这套换算表的实际用途。

2. 核心比率：$\dfrac{3}{5}$ 与 $\dfrac{5}{3}$

第一个公式是最关键的：

$$\text{粝米} = \frac{3}{5} \times \text{粟} \qquad (1)$$

也就是说，100斤粟，碾出60斤粝米——出米率是 60%。

反过来：

$$\text{粟} = \frac{5}{3} \times \text{粝米} \qquad (2)$$

如果你有一堆粝米，想知道它原来有多少粟，就乘以 $\dfrac{5}{3}$。

这两个公式互为逆运算，逻辑完全对称。

你可能会好奇：60% 这个出米率靠谱吗？其实很合理——现代实验表明，粳稻的出米率大约在 60%～70% 之间，孙子算经取 $\dfrac{3}{5}=60\%$，是偏保守但完全可接受的经验值。

3. 从粝米到饭：翻倍的烹饪学

第二个关键转换是粝米煮饭：

$$\text{饭} = \frac{5}{2} \times \text{粝米} \qquad (3)$$

也就是说，1斤粝米，煮出 2.5 斤饭。

这看起来很夸张，但其实符合日常经验——米饭吸水后体积和重量都会大幅增加。现代营养学告诉我们，米饭的热量密度大约是生米的 1/2.5 左右，和这个比例是对得上的。

反过来：

$$\text{粝米} = \frac{2}{5} \times \text{饭} \qquad (4)$$

知道吃了多少饭，想算出相当于多少生米，乘以 $\dfrac{2}{5}$ 就行了。

4. 完整的换算链条

把上面几个公式串起来，可以得到一条从粟到饭的完整路径：

$$\text{粟} \xrightarrow{\times\,\frac{3}{5}} \text{粝米} \xrightarrow{\times\,\frac{5}{2}} \text{饭}$$

中间两步抵消：

$$\text{饭} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{2} \times \text{粟} = \frac{3}{2} \times \text{粟} \qquad (5)$$

也就是说，从粟直接到饭，总体比率是 $\dfrac{3}{2}$——一斤粟，最终得到一斤半的饭。

这个结果很有意思：虽然中间经过了"去壳"和"煮饭"两个损耗/增重步骤，但最终净效果是重量增加了 50%，而不是减少了。这是因为煮饭吸水带来的增重，远超过了碾米过程中的损耗。

再看原文里的其他几条路径：

以粟米求粝饭，六之，四而一。

即 $\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$，和上面的结果完全一致。

以凿米求饭，八之，四而一。

即 $\dfrac{8}{4} = 2$，凿米（精米）煮饭，1斤米出2斤饭。因为凿米已经去掉了更多杂质，出饭率反而更高。

5. 这些比率是怎么来的？

你可能会问：这些"三之五而一"的比率，是数学推导出来的，还是 empirically 试出来的？

答案是：试出来的。

孙子算经的时代没有精密仪器，这些比率来自长期的农业经验和官方的仓储管理实践。古代政府需要精确计算：全国收上来多少粟，能产出多少米，能煮多少饭，够多少军队吃多少天——这就需要在不同形态的粮食之间建立一套固定的换算标准。

从现代角度看，这些比率略有出入是正常的。不同品种的大米，出米率和吸水率都不一样。孙子算经取的是通用平均值，作为官方标准使用，而不是追求实验室级别的精确。

这种"够用就好"的态度，贯穿了整套中国古代实用数学。

高中课本关联

① 比例与比例变换（必修第一册·函数）

粟米换算本质上是一组比例变换——每种粮食到另一种粮食，都有一个固定的乘数因子。

$$y = k \cdot x$$

其中 $k$ 是比率。这和正比例函数的图像是一条过原点的直线完全一致。学生可以直观理解：比例就是那种"你有多少，我就按比例给你多少"的关系。

② 分数运算（必修第一册·指数与对数之前的内容）

"三之五而一"这种表达，翻译成现代数学就是：

$$\frac{3}{5} x$$

即"先乘以3，再除以5"。这是分数乘法的实际应用——学生天天在算 $\dfrac{3}{5} \times 100 = 60$，但很少意识到，这种运算在两千多年前就已经是官方粮食管理的工具了。

③ 复合函数与链式法则（选择性必修·函数概念）

如果我们把粟→粝米→饭看作两个函数复合：

$$f(x) = \frac{3}{5}x \qquad g(y) = \frac{5}{2}y$$

那么从粟到饭的整体变换是：

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} x = \frac{3}{2}x$$

这正好验证了我们前面推导的公式(5)！

这里可以看到链式消去的美感——中间的 $\dfrac{5}{2}$ 和 $\dfrac{3}{5}$ 相乘，5 约掉了，只剩下 $\dfrac{3}{2}$。这跟高中复合函数求值的思路完全一样。

教学启示

讲这节课的时候，我建议让学生做一个实际计算：

假设你们学校食堂今天收了 500 斤粟，能产出多少粝米？这些粝米能煮多少饭？

第一步，用公式(1)：

$$\text{粝米} = \frac{3}{5} \times 500 = 300 \text{ 斤}$$

第二步，用公式(3)：

$$\text{饭} = \frac{5}{2} \times 300 = 750 \text{ 斤}$$

学生会发现，500斤粟，最终变成了750斤饭——重量反而增加了。这通常会让他们感到意外，也正是讨论吸水、增重、加工损耗的好机会。

然后可以继续追问：如果直接给食堂 500 斤粝米，不经过粟这个阶段，能煮多少饭？ 答案是 $\dfrac{5}{2} \times 500 = 1250$ 斤。这样他们就直观理解了：从粟到饭，中间经过的碾米损耗是有代价的。

思考与拓展

1. 算一算：已知粝饭 400 斤，反推需要多少粝米？需要多少粟？请分两步计算，并验证最终结果。

2. 想一想：为什么"凿米求饭"的比率是 $\dfrac{8}{4}=2$，而"粝米求饭"的比率是 $\dfrac{5}{2}=2.5$？凿米（精米）煮饭反而出饭更少，合理吗？提示：考虑米糠和杂质对吸水能力的影响。

3. 查一查：现代大米的出米率大约是 65%～72%，吸水率大约是 1.8 倍（即 1斤米出 1.8 斤饭）。和孙子算经的 $\dfrac{3}{5}$ 和 $\dfrac{5}{2}$ 相比，哪个更精确？误差在什么范围？

一句话总结

孙子算经用"三之五而一"等几个简单比率，构建了一套从稻谷到米饭的完整换算体系——本质是比例问题，但背后是两千多年前国家粮食管理的实际需求。