无穷小的两千年官司——「趋近」这个词背后发生了什么
高中课本说"当x趋近于0时……"——凭什么？这句话在历史上吵了两千年：芝诺说运动不可能，牛顿和莱布尼茨用说不清的东西做出了真结果，大主教贝克莱骂它们是"消失了量的幽灵"。这一讲讲这场官司怎么收场，以及课本为什么把结局直接塞给你。
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数学分析
Mathematical Analysis
从无穷小的官司到 ε-δ 的规矩，从求导的来历到微积分基本定理——把高中只给操作手册的地方，还原成有来龙去脉的东西。
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讲义
ε-δ 逐字拆解——一句话凭什么管住了所有函数
上一讲讲了三百年官司怎么收场，这一讲讲收场那句话本身。为什么是"先 ε 后 δ"？0 小于 |x-a| 里的 0 是什么意思？一个完整的 ε-δ 证明怎么写？以及这个定义顺手带出来的三件狠武器：删去邻域、极限的否定、海涅归结原则。
极限的法则——为什么不能把 lim 随便搬来搬去
高中生都会用 lim(a+b)=lim a+lim b，但从没证明过。这一讲从 ε-δ 出发，把四则运算法则逐个证出来——你会发现每个法则的证明里都藏着一个"必须先界住"的引理，而那个引理正是"运算合法"的真正理由。附带讲清夹逼准则和单调有界，以及为什么 lim 不能和无穷多次求和交换。
无穷小比大小——为什么 sin x 有时能换成 x，有时不能
高中有一句口诀：lim 乘除可换，加减不可换。这一讲讲清为什么，以及那句口诀漏掉的一半——加减在什么条件下仍然可以换。核心是同一族近似（sin x = x、sin x = x − x³/6）到底差在哪，顺带把高阶无穷小的 o 记号、泰勒展开的门，一起打开。
连续性——「图像不断线」为什么不够用
高中说连续就是图像不断开。这一讲讲这个定义为什么不能用，以及数学上真正的连续长什么样。核心是：有一整类函数你根本画不出来，但它们在数学分析里极其重要；以及为什么「闭区间上连续」这四个字里，闭区间三个字删掉就全盘皆错。
导数与微分——dy 到底是个什么东西
高中有导数的定义，但没有解释 dy/dx 为什么可以像一个分数那样拆开用，也没说过 dx 和 dy 各自是什么。这一讲讲清：导数是差商的极限，微分是两个增量的线性主部，以及"可导必然连续、连续未必可导"背后的三个反例。
求导法则的来源——为什么不是 (fg)' = f'g'
高中生都背过乘积律、商律、链式法则，但从没证明过。这一讲讲清三件事：为什么乘积律不是简单地 f'g'；链式法则的证明里那个"中间变量"到底是怎么回事；以及反函数求导为什么天然带一个倒数。
微分中值定理——一条从罗尔到柯西的线
罗尔、拉格朗日、柯西三个中值定理，高中生大多只闻其名。这一讲讲清它们是一条线：罗尔是特例，拉格朗日是主角，柯西是参数化推广。三者共用同一个证明骨架——构造辅助函数、化归到罗尔。以及这条线为什么是"用导数研究函数"的起点。
洛必达法则——它什么时候骗你
洛必达法则是高中最顺手的工具，也是最常被用错的。这一讲讲清它的三个前提条件各自在防什么，四个典型翻车场景，以及为什么有些题越用洛必达越算不出来。最后给一个判断流程：什么时候该用它，什么时候该换工具。
泰勒公式——用一个多项式抓住一个函数
高中背过 eˣ≈1+x、sin x≈x，但从没解释过这些近似从哪来、误差多大、什么时候能用。泰勒公式一次讲完：为什么是多项式、系数为什么是导数、余项有几种形式、以及它怎么统一第四讲的等价无穷小和第九讲的洛必达。这是微分学的高潮。
实数系的完备性——六个互相等价的公理
为什么单调有界数列必有极限？为什么闭区间上连续的函数一定有零点？答案不在几何直观里，在一个叫"完备性"的性质里。这一讲讲清实数的六条断言的等价关系，以及它们各自擅长证明什么。这是数学分析从"算"转向"证"的分水岭。
定积分——从一块面积到求和极限
高中生会背牛顿-莱布尼茨公式，但没见过 ∫ 这个符号的真实来历。这一讲讲清定积分的定义：分割、取点、求和、取极限四步，以及为什么"任取小区间"和"任取分点"这两个任意的必需性。最后解释 ∫ 为什么长得像拉长的 S。
可积性——什么函数有积分，什么没有
不是每个有界函数都能积分。这一讲讲清三道判据：连续必可积、有限间断可积、单调必可积；以及为什么会有一个"几乎处处连续"的普适判据。核心工具是振幅和达布和——它们比黎曼和更容易控制。最后给黎曼积分真正的极限在哪里。
微积分基本定理——为什么求导和积分互为逆运算
高中把牛顿-莱布尼茨公式当工具用，从没证明过。这一讲讲清为什么微分和积分是一对逆运算，原函数为什么存在，以及那个魔幻的 F(x)=∫ₐˣf(t)dt 是怎么把两件事焊死的。这是全部数学最重要的公式之一。
换元积分与分部积分——两个法则背后的同一个思想
高中生把换元和分部当技巧背，其实它们是同一个思想的两种用法。这一讲讲清：换元的合法性来自链式法则的积分形式，分部的合法性来自乘积律的积分形式，以及那个"dt 为什么可以跟着换"的疑问——答案在第十四讲的微分记号里。
反常积分——把无穷放进积分号
黎曼积分只能处理有界函数和有限区间。这一讲讲两类反常积分——无穷区间和无界函数——以及它们最关键的性质：原来能随便交换的极限和积分，现在要看条件。核心是收敛判别，以及一个反直觉的结论：无穷大的函数也能有有限的积分，而逐点趋于零的函数序列，积分却可以不为零。
无穷多个数怎么相加——级数的世界
无穷多个数相加，结果可能是一个有限数、可能是无穷、可能根本不存在本。这一讲讲清级数收敛的严格定义、三大判据（柯西准则）、常见敛散判别法，以及最反直觉的现象：条件收敛的级数重排后可以得到任意值。调和级数则是所有级数课的入门陷阱。
幂级数——把函数写成无限多项式
泰勒公式告诉你一个函数可以在一点用多项式逼近。幂级数回答：逼近的半径有多大？在半径内，幂级数可以逐项求导、逐项积分，这使它成为解微分方程、算积分、造特殊函数的根本工具。这一讲讲清收敛半径、和函数性质，以及 eˣ、sin x、cos x 的统一视角。
一致收敛——逐点收敛为什么不够用
函数列逐点收敛，极限函数可以完全不连续；积分和极限不能交换；逐项求导也会出错。这一讲讲清一致收敛这个条件怎么一次解决三个问题，以及怎么判别它（一致收敛柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔-狄利克雷判别法），最后回到第十六讲那个又高又窄的方块。
尾声：还给高中的三个承诺
二十讲走到头。这一讲不做新内容，只做一件事：把开头欠的三个承诺还上——「趋近」凭什么、「基本定理」为什么、「sin x 为什么有时能换成 x」。再用一张地图回顾全程，最后说清数学分析这本书往下怎么读。