第8讲 微分中值定理——一条从罗尔到柯西的线

高中课本偶尔提一句拉格朗日中值定理，然后就没有然后了。

它是微积分里最容易被跳过、但地位最重要的定理之一。整个微分学的应用——单调性判定、极值、不等式证明、函数作图、洛必达法则的严格化——全部建立在它上面。

这一讲讲三个定理。但不要把它们当三个独立条目记，它们是一条线：

$$\text{罗尔} \longrightarrow \text{拉格朗日} \longrightarrow \text{柯西}$$

从特殊到一般，而且证明方法完全一样：构造辅助函数，化归到罗尔。

罗尔定理：三个条件，一个结论

定理（罗尔）：若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a) = f(b)$

则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi) = 0$。

几何意义：两端等高的光滑曲线，中间至少有一处切线水平。

证明（三行骨架）：

• 由第五讲的最值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上取到最大值 $M$ 和最小值 $m$。
• 若 $M = m$，则 $f$ 是常数，任意点的导数都是 0，得证。
• 若 $M > m$，则 $M$ 和 $m$ 至少有一个不等于端点值 $f(a)=f(b)$。设最大值在 $\xi \in (a,b)$ 取到。因 $\xi$ 是内点极值，左邻域 $f(x) \le f(\xi)$、右邻域也是，于是左导数 $\le 0$、右导数 $\ge 0$，而可导要求左右相等，只能为 0。

三个条件缺一不可。 这是理解罗尔定理的关键——为什么教材要逐条列出来。

去掉哪个条件	反例
去掉连续	$f(x)=x$（$x\ne 0$），$f(0)=1$，在 $[0,1]$ 上
去掉可导	$f(x)=\lvert x \rvert$ 在 $[-1,1]$ 上（尖点，两端等高）
去掉 $f(a)=f(b)$	$f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上（导数恒为 1）

三个反例分别对应三种失败方式。记住失败方式比记住定理有用——考试证明题里让你用罗尔定理，绝大多数情况是在考"你能不能凑出这三个条件"。

拉格朗日中值定理：主角

定理（拉格朗日）：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使

$$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$$

几何意义：曲线至少有一处的切线，平行于连接两端的那条割线。

这就是把"平均变化率"和"瞬时变化率"连起来了。 左边是割线斜率 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$，右边是切线斜率 $f'(\xi)$。定理说：至少有一瞬间，瞬时变化率恰好等于整段的平均变化率。

你高中用它证过不等式、讨论过单调性，但它凭什么成立，这就是理由。

证明：构造辅助函数

直接证没有头绪。标准打法是把 $f(a)=f(b)$ 这个缺失的条件"借"过来。

考虑辅助函数：

$$F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

它减掉了那条割线。于是：

$$F(a) = 0,\qquad F(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = 0$$

$F(a) = F(b)$ —— 罗尔定理的第三个条件凑出来了。

而 $F$ 连续（$f$ 连续减去一个一次函数）、可导（同理），且 $F'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F'(\xi) = 0$，即

$$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

移项就得到拉格朗日中值定理。证毕。

这个"减掉一条直线凑出等值"的技巧，是整个微分证明论的核心套路。 后面柯西中值定理、泰勒公式的证明，都是它的变形。

柯西中值定理：两个函数的推广

定理（柯西）：若 $f$、$g$ 都在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x) \ne 0$ 在 $(a,b)$ 内成立，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

几何意义：把它看成参数方程 $\begin{cases} X = g(t) \\ Y = f(t) \end{cases}$ 描绘的平面曲线，则结论是"曲线上至少有一处的切线斜率，等于连接两端的那条割线的斜率"。是拉格朗日定理的参数化版本。

它是拉格朗日的推广：令 $g(x) = x$，则 $g(b)-g(a) = b-a$、$g'(x)=1$，柯西退化为拉格朗日。

证明：再借一次

仿照拉格朗日，构造

$$F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\big[g(x) - g(a)\big]$$

同样有 $F(a) = F(b) = 0$，罗尔定理给 $F'(\xi)=0$：

$$f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi) = 0$$

因为 $g'(\xi) \ne 0$，可以除过去，得到柯西形式。证毕。

为什么要求 $g'(x) \ne 0$？ 两个原因：第一，证明里要除 $g'(\xi)$；第二，更重要——$g'(x) \ne 0$ 保证 $g$ 严格单调，从而 $g(b) \ne g(a)$，否则左边分母是 0，整个式子没意义。

三个定理的地位

定理	条件	结论	角色
罗尔	端点等高	有点导数为 0	特例、工具
拉格朗日	端点任意	导数 = 平均变化率	主角
柯西	两个函数	两个导数的比 = 两个增量比	参数化推广

应用几乎全在拉格朗日身上。 柯西的主要用途是第十讲洛必达法则的严格化证明——没有它，洛必达只是个口诀。

拉格朗日的两个直接推论

定理本身已经够重要，它还有两个推论，你在高中学过但不知道来路。

推论一：导数恒为零 ⟹ 函数是常数。

证明：任取 $x_1 \ne x_2$ 在区间内，由拉格朗日

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) = 0$$

所以任意两点函数值相同，$f$ 是常数。

这个推论是"不定积分差一个常数"的依据。 你高中背过"$\int f'(x)dx = f(x) + C$"，那个 $C$ 为什么存在、为什么只有一个——就是这条推论。

推论二：导数处处相等 ⟹ 函数差一个常数。

若 $f'(x) = g'(x)$，则 $(f-g)' = 0$，由推论一，$f - g = C$。

这条是反函数求导、换元积分正确性的基石。

应用题示范：证不等式

拉格朗日最爽的用途是证不等式。套路是：把不等式差构造成一个函数，用中值定理把它变成"导数有界"的问题。

例：证明 $\lvert \sin a - \sin b \rvert \le \lvert a - b \rvert$。

对 $f(x) = \sin x$ 用拉格朗日：

$$\sin a - \sin b = \cos\xi \cdot (a - b)$$

取绝对值：

$$|\sin a - \sin b| = |\cos\xi|\cdot|a-b| \le 1\cdot|a-b|$$

证毕。两行。 而且这个"余弦有界"的直觉，比任何放缩技巧都可靠。

例二：证明当 $x > 0$ 时 $\ln(1+x) < x$。

构造 $f(t) = \ln(1+t)$，在 $[0,x]$ 上用中值定理：

$$\ln(1+x) - \ln 1 = \frac{1}{1+\xi}\cdot x,\qquad \xi\in(0,x)$$

因为 $\dfrac{1}{1+\xi} < 1$ 且 $x > 0$，所以 $\ln(1+x) < x$。证毕。

讲给学生听时，讲什么

第一，三个定理记一条线，不记三条。 罗尔是工具，拉格朗日是主角，柯西是它的参数化。证明套路统一：减掉一条线，凑出端点等高。

第二，条件逐条对应一个失败方式。 考试问"下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理"，考的从来不是定理本身，是你会不会检查三个条件。

第三，推论一比定理更好用。 "导数恒为零 ⟹ 常数"看着显然，但它是积分常数合法性、换元合法性、反函数求导的总依据。

第四，证不等式的套路值得单独记。 "构造函数 + 中值定理 + 导数有界"三板斧，能解决一大类题。

思考与拓展

1. 验证 $f(x) = x^2 - x$ 在 $[0,1]$ 上满足罗尔定理，并找出那个 $\xi$。（提示：令 $f'(\xi) = 0$。）
2. 对 $f(x) = \arctan x$ 在 $[0,1]$ 上用拉格朗日中值定理，估计误差范围：$f'(\xi)$ 最大能是多少？
3. 用中值定理证明：当 $x > 0$ 时 $e^x > 1 + x$。（提示：构造函数后在 $[0,x]$ 上用。）
4. 柯西中值定理要求 $g'(x) \ne 0$。取 $f(x) = x^2$、$g(x) = x^3$ 在 $[-1,1]$ 上——数一下 $g(1)-g(-1) = 1-(-1) = 2$ 不为 0，看似没问题，但 $g'(0) = 3\cdot 0^2 = 0$，条件被破坏了。这告诉你检查条件不能只看区间端点，要逐点验证。
5. 为什么"导数恒为零 ⟹ 常数"的证明里，必须要求函数在区间上可导，而不是在孤立的几个点？

一句话总结

罗尔、拉格朗日、柯西是一条线上的三个点：减掉一条直线凑出端点等高，再用罗尔；拉格朗日把平均变化率和瞬时变化率焊在一起，它才是整个微分学的承重墙。

附：本文涉及的史实出处

• 罗尔定理：罗尔（Rolle）1691 年针对多项式给出，后由柯西推广到一般函数
• 拉格朗日中值定理：拉格朗日 1797 年给出
• 柯西中值定理：柯西 1823 年《Résumé des leçons》中作为工具引入，用于建立洛必达法则
• 三个定理的"辅助函数化归罗尔"证明：现代教材通行写法