一致收敛——逐点收敛为什么不够用

第十六讲结尾埋了一个坑：

$$f_n(x) = \begin{cases} n, & x \in (0,\frac1n)\\ 0, &\text{其他}\end{cases}$$

逐点看，$f_n(x) \to 0$ 对每个 $x>0$。但 $\int_0^1 f_n = 1 \not\to 0 = \int_0^1\lim f_n$。

逐点收敛和积分不一致。 这一讲讲清缺口在哪儿，什么条件能补上。

逐点收敛是什么

函数列 $f_1, f_2, \dots$ 逐点收敛到 $f$，是指：

$$\text{对每个固定的 } x,\quad \lim_{n\to\infty}f_n(x) = f(x)$$

用 ε-N 语言（这是关键）：

$$\forall x,\ \forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$

注意顺序：$N$ 依赖 $x$。

也就是说，要让所有点都逼近 $f$，每个点各自有自己的"起跑线" $N(x)$。有的点要 100 项以后才够近，有的点要 $10^6$ 项。

这个各自为政就是问题的根源。

一致收敛是什么

定义：$f_n \to f$ 一致收敛，如果

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\ \forall x: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$

变化只在量词顺序：$N$ 从"依赖 $x$"变成"只依赖 $\varepsilon$"。

一个 $N$ 管住所有点。 这就是"一致"的字面含义——整个定义域被同一个标准管着。

这个交换不是技术细节，是质的差别。它等价于：

$$\sup_x|f_n(x)-f(x)| \to 0$$

"最大的偏差也趋于 0" ——比逐点收敛的"每个偏差趋 0"强得多。

一致收敛解决的三个问题

这就是它为什么重要——三个有限直觉的交换律，一致收敛全都能保证。

问题一：极限函数可以连续

定理：若 $f_n$ 连续，且 $f_n \rightrightarrows f$（一致收敛），则 $f$ 连续。

不要求一致收敛，这个定理是假的。

反例：$f_n(x) = x^n$ 在 $[0,1]$ 上。连续。逐点极限是

$$f(x) = \begin{cases}0, & 0\le x<1\\ 1, & x=1\end{cases}$$

在 $x=1$ 处不连续。

问题出在哪？在 $x=1$ 附近，$f_n$ 需要极大的 $n$ 才能压下来——$N(x)$ 在 $x\to1$ 时爆炸。 恰是一致收敛缺失的地方。

问题二：积分与极限可交换

定理：若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $f_n \rightrightarrows f$，则

$$\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n = \int_a^b f$$

这正是第十六讲那个又高又窄方块失效的原因。 那个序列不一致收敛——因为

$$\sup_x|f_n(x) - 0| = n \not\to 0$$

方块的高度没有下降，只是宽度变窄了。逐点极限把宽度压没了，一致收敛会抓住高度不放。

问题三：可逐项求导

定理：若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可导、$f_n(x_0)$ 对某 $x_0$ 收敛，且 $f_n' \rightrightarrows g$，则

$$f_n \rightrightarrows f,\quad f' = g$$

即 $\left(\lim f_n\right)' = \lim f_n'$，可以逐项求导。

注意这个定理的条件更强：要导数序列一致收敛，而不仅是函数列。因为求导会放大误差。

反例：$f_n(x) = \dfrac{\sin nx}{\sqrt n}$。$f_n \to 0$ 一致（$\sup = 1/\sqrt n \to 0$）。但 $f_n'(x) = \sqrt n\cos nx$，导数序列 $\sup = \sqrt n \to \infty$，不一致收敛。而 $\left(\lim f_n\right)' = 0$，$\lim f_n'$ 不存在。逐项求导失败。

一致收敛的判别法

定义不好用（要算 $\sup$）。三个实用判据：

一、一致收敛柯西准则

$$f_n \rightrightarrows f \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n>N,\ \forall x: |f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon$$

不用知道极限函数是什么，只用函数列自身。这是判别法之王——证明题里遇到"证明一致收敛"，九成用它。

二、魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）

若 $|f_n(x)| \le M_n$ 对一切 $x$ 成立，且 $\sum M_n < +\infty$，则 $\sum f_n(x)$ 一致收敛。

就是比较判据的一致收敛版。 $M_n$ 是"第 $n$ 项的最大值"，找一个收敛的正项级数压住它。

例：$\sum\dfrac{\sin nx}{n^2}$。取 $M_n = \dfrac{1}{n^2}$，$\sum\dfrac1{n^2}$ 收敛，所以一致收敛。

三、阿贝尔-狄利克雷判别法

处理带振荡的级数，$M$-判别法无能无力。

阿贝尔判据：$\sum a_n(x)$ 一致收敛且 $b_n(x)$ 一致有界、对每个 $x$ 单调，则 $\sum a_nb_n$ 一致收敛。

狄利克雷判据：$\sum a_n(x)$ 的部分和一致有界，$b_n(x)$ 单调一致趋于 0，则 $\sum a_nb_n$ 一致收敛。

例：$\sum\dfrac{(-1)^n}{n+x}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。用阿贝尔判据：$\sum(-1)^n$ 部分和有界，$\dfrac1{n+x}$ 单调且一致趋于 0。

三个判据怎么选

现象	用哪个
能算 $\sup\lvert f_n\rvert$ 且压得住	M-判别法（最快）
含振荡 $(-1)^n$	阿贝尔 / 狄利克雷
一般证明题	柯西准则

做题顺序：先试 M-判别法，不行看振荡，都不行用柯西准则硬算。

和第十六讲的接口

现在能完整回答那个坑了。

幂级数在收敛域内部一致收敛吗？ 收敛。事实上，设 $R$ 是收敛半径，取 $0 < r < R$，则 $\sum a_nx^n$ 在 $[-r,r]$ 上一致收敛。

证明就是 M-判别法：$|a_nx^n| \le |a_n|r^n$，而 $\sum|a_n|r^n$ 收敛（因为 $r < R$，内部绝对收敛）。

这把第十八讲的"逐项可导可积"定理补严实了。 那个定理之所以成立，正是因为幂级数在任何内点区间上都一致收敛——不是全局，是每个紧子区间上。

这句话值得细品：幂级数的"好性质"范围是收敛圆盘的内部，边界上不一定。 这与阿贝尔定理的精神一致。

收敛半径的更深含义

把两条线接起来：

• 第十八讲：逐项可导可积是幂级数的核心财产
• 这一讲：那个财产成立的前提是一致收敛
• 而一致收敛的范围是"收敛半径内的任意紧子区间"

所以幂级数的能力边界就是收敛半径。 $\dfrac{1}{1-x}$ 在 $x=1$ 处炸掉，它的展开 $\sum x^n$ 在圆周 $|x|=1$ 上到处乱来——不是因为级数不好，是因为函数在那儿不好。

这与第十八讲的"收敛半径 = 展开中心到最近奇点的距离"完全对应。现在看来不是巧合，是必然。

讲给学生听时，讲什么

第一，定义里的量词交换必须讲透。 $N$ 从依赖 $x$ 到不依赖 $x$，这一个交换是全部内容。学生哪怕忘了定义，记住"一个 $N$ 管所有点"也能重新推出来。

第二，三个定理一起讲。 连续、可交换、可逐项求导，是为了解决三个有限直觉的崩坏。分开讲学生会以为是三个孤立的定理。

第三，$x^n$ 和 $\sin(nx)/\sqrt n$ 两个反例不可少。 一个说明极限函数可以断，一个说明条件不够强时逐项求导会错。

第四，M-判别法优先用。 它是最快的，大部分题都能过。

第五，接回第十四章末的伏笔。 到这里，数学分析的"地基篇"（1-11）和"计算篇"（12-18）全部合龙，只剩收尾。

思考与拓展

1. 证明 $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛到 0。（提示：求 $\sup_x |f_n|$。）
2. 证明 $f_n(x) = nx(1-x)^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到 0 但不一致收敛。
3. 用 M-判别法证明 $\sum\dfrac{\cos nx}{n^2}$ 一致收敛。
4. 用狄利克雷判据证明 $\sum\dfrac{\sin nx}{n}$ 在 $[0, 2\pi]$ 上一致收敛，并求它的和。（提示：这是傅里叶级数的雏形。）
5. 为什么幂级数的逐项求导定理要求"导数级数一致收敛"，而不是"函数级数一致收敛"？用 $f_n = \sin(nx)/\sqrt n$ 说明。

一句话总结

一致收敛就是把「每个点各自有起跑线」换成「一个 N 管所有点」；这一个交换补救了三件事——极限函数连续、积分与极限可交换、可逐项求导，而判别它的三个工具是柯西准则、M-判别法和阿贝尔-狄利克雷。

附：本文涉及的史实出处

• 一致收敛概念：魏尔斯特拉斯 1841 年系统提出；阿贝尔 1826 年已遇到相关困难而未解决
• 柯西 1821 年曾误用"逐点收敛即可交换积分"，后被西德尔等反例纠正
• 魏尔斯特拉斯 M-判别法：19 世纪中期
• 阿贝尔、狄利克雷判别法：阿贝尔 1826、狄利克雷 1829，原为傅里叶级数收敛性而设
• 幂级数在收敛半径内紧子区间一致收敛：标准结果，是逐项可导可积定理的基础