幂级数——把函数写成无限多项式

第十讲给出了泰勒公式：函数可以写成

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + R_n(x)$$

然后我们止步于有限项加余项。

但余项可以扔。如果去掉 $R_n$，让 $n \to \infty$：

$$\sum_{k=0}^{\infty}c_k x^k$$

这就是幂级数——形式最简单的函数项级数。它有两个问题要回答：什么时候收敛？收敛时是不是就等于 $f$？

定义与收敛域

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$$

对每个固定的 $x$，它是一个数项级数。收敛的那些 $x$ 构成收敛域。

幂级数的收敛域形状极其规整——它一定是一个区间（可能退化成一点，也可能是全实轴）。这个"规整"是幂级数好用的一切根源。

收敛半径：阿贝尔定理

定理（阿贝尔）：幂级数 $\sum a_nx^n$ 的收敛域，必有形式：

$$(-R,R) \quad\text{或}\quad [-R,R]$$

即存在唯一的 $R \in [0,+\infty]$，使 $|x| < R$ 时绝对收敛、$|x| > R$ 时发散。$R$ 叫收敛半径。端点 $x = \pm R$ 要单独判断。

这个定理的威力在于：内部一律绝对收敛。 所以你不用逐点判敛，只需定半径、验端点两步。

怎么求 $R$

比值法（最常用）：

若 $\lim\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L$ 存在，则 $R = \dfrac{1}{L}$（$L=0$ 时 $R=+\infty$，$L=+\infty$ 时 $R=0$）。

根值法：若 $\lim\sqrt[n]{|a_n|} = L$，则 $R = \dfrac{1}{L}$。

$$\frac{1}{R} = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$$

四个基本幂级数

函数	展开	半径
$e^x$	$\sum\dfrac{x^n}{n!}$	$+\infty$
$\dfrac{1}{1-x}$	$\sum x^n$	$1$
$\ln(1+x)$	$\sum\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$	$1$
$(1+x)^\alpha$	$\sum\dbinom{\alpha}{n}x^n$	$1$
$\sin x$	$\sum\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$+\infty$
$\cos x$	$\sum\dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$	$+\infty$

注意半径的差异：含阶乘的（$e^x$、$\sin$、$\cos$）半径无穷大；不含阶乘的（$\ln$、二项式）半径 1。

原因是阶乘增长太快，压住了任何 $x^n$ 的增长。看系数有没有阶乘，就能猜半径。

端点要单独判

半径只告诉你内部绝对收敛。端点行为各异：

$\ln(1+x)$ 在 $x = 1$ 处：

$$\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$$

收敛（莱布尼茨判据，第十七讲）。在 $x = -1$ 处发散。所以收敛域是 $(-1, 1]$。

$\dfrac{1}{1-x}$ 在 $x = \pm1$ 都发散（通项不趋于 0）。收敛域 $(-1,1)$。

$e^x$ 没有端点问题，全域收敛。

判端点的方法就是第十七讲的数项级数判敛法，没有新工具。

核心定理：逐项可导、逐项可积

这是幂级数真正值钱的地方。

定理：设幂级数收敛半径为 $R$，和函数为 $S(x)$。则在 $(-R,R)$ 内：

1. $S$ 任意阶可导
2. 可以逐项求导：$S'(x) = \sum na_nx^{n-1}$，且导出的级数半径仍为 $R$
3. 可以逐项积分：$\int S(x)dx = \sum\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$，半径仍为 $R$

这意味着什么？ 幂级数在收敛域内是一个和普通多项式一样听话的函数——求导、积分、代入，都是机械操作。

这是它成为"万能工具"的原因。 你说不出 $\int e^{-x^2}dx$ 的初等表达式，但你可以把它展开成幂级数再逐项积分，得到一个新的幂级数——那就是误差函数的定义。

应例一：解微分方程

例：解 $y'' = -y$，$y(0)=0$、$y'(0)=1$。

假设 $y = \sum c_nx^n$。则 $y'' = \sum n(n-1)c_nx^{n-2}$。代入方程比系数，得到

$$c_{n+2} = -\frac{c_n}{(n+2)(n+1)}$$

由初值 $c_0 = 0$、$c_1 = 1$，递推：

$$c_2 = 0,\quad c_3 = -\frac{1}{6},\quad c_4 = 0,\quad c_5 = \frac{1}{120},\ \dots$$

组合起来：

$$y = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$$

这就是 $\sin x$ 的展开。

这个例子的意义：你不是"知道" $\sin x$ 满足 $y''=-y$，你是从微分方程"构造"出了正弦函数。 这是微分方程论的起点——用级数解方程。

应用二：算复杂积分

$$\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$$

没有初等原函数（第十五讲）。但展开：

$$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$$

逐项积分：

$$\int_0^1 e^{-x^2}dx = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \cdots$$

数值约 $0.746824$。这个数是正态分布累积函数的核心，没有初等表达式，但幂级数让它可算。

应用三：欧拉公式的统一视角

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$

用幂级数证明，三行：

$$e^{ix} = \sum\frac{(ix)^n}{n!} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

按实部虚部分开，实部是 $\sum\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} = \cos x$，虚部是 $\sum\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sin x$。

代入 $x = \pi$ 得到 $e^{i\pi}+1=0$ ——数学里最著名的公式，从幂级数看只是一次实部虚部分离。

这个视角的力量：指数、三角、复指数，三个看似无关的东西，在幂级数里是同一个东西的不同侧面。

应用四：生成函数

把数列编码成幂级数，是组合数学的核心技巧。

斐波那契数列 $1,1,2,3,5,8,\dots$ 的生成函数：

$$F(x) = \sum f_nx^n = \frac{x}{1-x-x^2}$$

递推关系 $f_n = f_{n-1}+f_{n-2}$ 变成了一个代数等式。于是组合问题转化为有理函数的代数问题——这是现代计数理论的根基，也是数学分析反哺其他分支的例子。

收敛半径的意义

最后回答一个深层问题：半径 $R=1$ 到底意味着什么？

以 $\dfrac{1}{1-x}$ 为例，半径 1 的障碍是 $x=1$ 处的奇点——函数在那里炸掉了。

幂级数的收敛半径，等于"展开中心到最近奇点的距离"（在复平面上）。 $e^x$ 没有奇点，所以半径无穷；$\ln(1+x)$ 在 $x = -1$ 有奇点，所以半径 1。

这是复分析的结论，但它在实分析里已经可见：幂级数在收敛圆周的边界上"感觉到"了函数的问题。

讲给学生听时，讲什么

第一，阿贝尔定理的规整性值得强调。 收敛域一定是区间，这让幂级数比一般函数项级数好处理得多。

第二，逐项可导可积是核心财产。 有了它，幂级数才是"万能工具"，而不是另一种函数表示。

第三，从 $y''=-y$ 造出 $\sin x$ 的例子讲一遍。 它颠覆了"三角函数是基本的"这个印象——正弦其实是由一个微分方程定义的。

第四，欧拉公式的幂级数证明。 比任何几何解释都干净，而且把三大函数统一了。

第五，生成函数作为延展。 学有余力的学生会喜欢这个方向，它是数学分析通向离散数学的桥。

思考与拓展

1. 求幂级数 $\sum\dfrac{x^n}{n^2}$ 的收敛域（注意端点）。（提示：$x=\pm1$ 时是 $p$ 级数。）
2. 用逐项求导从 $\dfrac{1}{1-x}$ 的展开得到 $\dfrac{1}{(1-x)^2}$ 的展开。
3. 用幂级数方法求 $\sum\dfrac{n}{2^n}$（第十七讲用过错位相减，这次用生成函数）。
4. 验证 $e^{i\pi} = -1$：写出 $e^{ix}$ 的幂级数前五项，代入 $x=\pi$ 分离实虚部。
5. 为什么 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 的收敛半径是 1，即使它在实数轴上没有任何奇点？（提示：想想复数。）

一句话总结

幂级数的收敛域一定是区间，内部一律绝对收敛；它最大的财产是能逐项求导逐项积分——这让它成为解微分方程、算积不出原函数的积分、造特殊函数的通用工具，而收敛半径本质上就是展开中心到最近奇点的距离。

附：本文涉及的史实出处

• 幂级数系统研究：牛顿、莱布尼茨已用于具体计算；19 世纪由柯西、阿贝尔严格化
• 阿贝尔定理（1816）：关于幂级数在收敛圆周上的行为
• 逐项可导可积定理：标准结果， 19 世纪后期
• 欧拉公式：欧拉 1748 年《无穷分析引论》
• 生成函数：欧拉、拉普拉斯在计数问题中使用，现代形式由概率论和组合数学发展