第5讲 连续性——「图像不断线」为什么不够用

你在高中学过的定义大概是：

如果函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上的图像是一条连续不断的曲线，就称它在 $I$ 上连续。

这个定义有个致命的问题：它默认函数有图像。

而有图像这件事，本身就是个奢侈的假设。

这一讲讲三个东西：连续的严格定义长什么样；为什么"画出来的连续"不够；以及闭区间上连续函数的四大性质——这四个性质你现在只会用结论，这一讲讲它们的证明。

先看一道会让你不舒服的题

考虑这个函数：

$$D(x) = \begin{cases} 1, & x \text{ 是有理数} \\ 0, & x \text{ 是无理数} \end{cases}$$

它叫狄利克雷函数（Dirichlet function）。

问：它在哪儿连续？

答案是：处处不连续。 而且理由很简单：任取一点 $x_0$，无论它是有理数还是无理数，它旁边任意小的邻域里都同时挤着有理数和无理数。所以函数值在 0 和 1 之间疯狂跳，永远停不下来。

现在问题来了：你怎么画出它的图像？

画不出来。数轴上每一个点附近，有理点和无理点都稠密交错，你找不到任何一个小区间让函数值稳定下来。硬要画，就是整条数轴全涂成 0 和 1 两种颜色——那不是图像，那是一团噪点。

而"图像不断线"这个定义，对这个函数完全失效。 不是"难以应用"，是"无法定义"。

类似的函数数学分析里一大堆：黎曼函数、托马函数（Thomae's function）、各种病态函数。它们的共同点是：不能用图说话，只能用定义说话。

所以连续必须有严格定义。

连续的定义：把极限那一套搬过来

第二讲讲过极限的 ε-δ 定义，连续就是它的一次小改动：

定义：函数 $f$ 在点 $a$ 连续，如果

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{使当}\ |x-a| < \delta\ \text{时，}\ |f(x) - f(a)| < \varepsilon$$

跟极限的定义比，只有两处不同：

1. $0 < |x-a| < \delta$ 改成了 $|x-a| < \delta$ ——不再把 $x = a$ 挖掉了
2. $|f(x) - L| < \varepsilon$ 改成了 $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ ——极限值 $L$ 换成了函数值 $f(a)$

翻译一下：

$f$ 在 $a$ 连续 $\iff$ $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$

连续就是"极限值等于函数值"。 一个式子说清三件事：极限存在、函数有定义、两者相等。

狄利克雷函数在任一点都不连续，因为任一点的极限都不存在——而函数值倒是有的（1 或 0）。极限不存在，连续就无从谈起。

顺带说一句：连续的定义证明不依赖图像。 这是它比高中定义强的地方。

单侧连续与间断点的分类

高中很少提"单侧连续"，但它是必需的——因为很多函数只在一边有定义，或者两边表现完全不同。

左连续：$\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = f(a)$，记 $f(a^-) = f(a)$ 右连续：$\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a)$，记 $f(a^+) = f(a)$

函数在一点连续 $\iff$ 左连续且右连续。 这条在第二讲讲图灵机提过的"两边趋近"就是它。

间断点按"两侧极限的状态"分四类，这是标准分类：

类型	左极限	右极限	例子
可去间断	存在	存在，且相等	$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$
跳跃间断	存在	存在，但不相等	$\text{sgn}(x)$ 在 $x=0$
无穷间断	无穷	无穷	$\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$
振荡间断	不存在（非无穷）	不存在（非无穷）	$\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$

前两类合称第一类间断——共同点是两侧极限都存在（有限）。后两类是第二类——至少一侧极限不存在。

这个分类的意义在于：它给出了"坏的程度"的排序。 可去间断最温和（补一个点就连续了），跳跃次之（补不了，但至少两边都安分），无穷和振荡是彻底失控。

$\dfrac{\sin x}{x}$ 在 0 点是可去间断，所以高中让你们"补定义"成 1——那个操作的正当性就在这里：补上之后极限值等于函数值，连续了。

四大性质：为什么"闭区间"三个字删不得

现在讲闭区间上连续函数的性质。这四个定理你现在做题都在用，但从没证明过。

先说清楚它们需要什么前提：$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

"闭区间"三个字，一个字都不能少。为什么？看完定理我给你反例。

定理一（有界性定理）：$f$ 在 $[a,b]$ 上有界

即存在 $M$ 使一切 $|f(x)| \le M$。

证明思路（反证）：假设 $f$ 无上界。那么对每个自然数 $n$，存在 $x_n \in [a,b]$ 使 $f(x_n) > n$。这样得到一列 $\{x_n\}$。

关键一步：$[a,b]$ 是有界区间，所以 $\{x_n\}$ 是有界数列。由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（有界数列必有收敛子列），存在子列 $x_{n_k} \to x_0$。因为 $[a,b]$ 是闭区间，$x_0 \in [a,b]$。

又因为 $f$ 在 $x_0$ 连续，$f(x_{n_k}) \to f(x_0)$——一个有限数。

但 $f(x_{n_k}) > n_k \ge k$，所以 $f(x_{n_k})$ 趋于 $+\infty$。既收敛到有限数，又趋于无穷，矛盾。 所以 $f$ 有上界。同理有下界。

看出来这个证明的结构了吗——它同时用了三样东西：$[a,b]$ 有界（保证数列有界）、$[a,b]$ 闭（保证极限点还在区间里）、$f$ 连续（保证函数值跟着收敛）。三样缺一样，链条就断。

定理二（最值定理）：$f$ 在 $[a,b]$ 上取到最大值和最小值

证明（只证最大值）：由定理一，$f$ 有上界。设 $M$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的上确界。

对每个自然数 $n$，$M - \dfrac{1}{n}$ 不再是上界（$M$ 是最小的），所以存在 $d_n \in [a,b]$ 使 $f(d_n) > M - \dfrac{1}{n}$。

再用一次波尔查诺-魏尔斯特拉斯：有界数列 $\{d_n\}$ 有收敛子列 $d_{n_k} \to d_0 \in [a,b]$。

连续保证 $f(d_{n_k}) \to f(d_0)$。而 $f(d_{n_k}) \to M$（因为 $|f(d_{n_k}) - M| < 1/n_k$）。一个数列不能收敛到两个数，所以 $f(d_0) = M$。

最大值被取到了，就在 $d_0$ 这一点。

定理三（零点定理）：若 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在 $c \in (a,b)$ 使 $f(c) = 0$

证明（用二分法，这是最漂亮的证明之一）：

不妨设 $f(a) < 0 < f(b)$。把区间二等分，看中点 $x_1 = \dfrac{a+b}{2}$ 处 $f$ 的符号：

• 若 $f(x_1) = 0$，已经找到了，收工。
• 若 $f(x_1) < 0$，把右端点换成 $x_1$，新区间 $[a, x_1]$ 仍是"左负右正"。
• 若 $f(x_1) > 0$，把左端点换成 $x_1$，新区间 $[x_1, b]$ 仍是"左负右正"。

无论哪种，新区间长度减半，且保持"两端异号"。重复这个过程，得到一列区间 $[a,b] = I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \cdots$，长度是 $b-a$ 除以 $2^n$，趋于 0。

由闭区间套定理（一列长度趋于 0 的闭区间，交集恰有一点），存在唯一 $c \in \bigcap I_n$。

每个 $I_n$ 的两端点函数值异号，而 $f$ 连续，所以 $f(c) = 0$。证毕。

这个证明的价值不只是证明定理。 它给出了一个真的能找到零点的算法——这就是计算机上求方程数值解（二分法）的全部理论依据。你用这个解 $\sqrt{2}$，前 6 位只需要 20 步。

定理四（介值定理）：$f$ 取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值

它是零点定理的推论：任取 $\mu$ 在 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，考虑辅助函数 $F(x) = f(x) - \mu$。则 $F(a) = f(a) - \mu$ 和 $F(b) = f(b) - \mu$ 异号，由零点定理存在 $c$ 使 $F(c) = 0$，即 $f(c) = \mu$。

一条技巧，值得记住：把"存在性问题"化成"零点问题"，是数学分析的常用招数。

"闭区间"三个字为什么删不得

前面反复说前提重要，现在给反例。

$f(x) = \dfrac{1}{x}$，定义在开区间 $(0,1)$ 上。它连续——每个点的极限都等于函数值，用 ε-δ 定义很好验。

但它在 $(0,1)$ 上无上界：

$$x = 0.1 \to 10,\quad x = 0.01 \to 100,\quad x = 0.001 \to 1000,\quad x = 0.0001 \to 10000$$

有界性定理直接失效。 因为证明链条的第一步——有界区间保证有界数列——虽然 $(0,1)$ 也有界，但第二步断了：数列 $x_n = 1/n$ 在 $(0,1)$ 内，它的收敛子列收敛到 0，而 0 不在开区间里。连续性的那个 $f(x_0)$ 根本不存在。

"闭区间"的作用，就是把所有极限点关在区间内。 少了它，函数可以在边界上逃逸到无穷。

再补一个反例说明另一个方向：$f(x) = x$ 在 $(0,1)$ 上连续且有界，但取不到最大值——上确界是 1,可 $x = 1$ 不在区间内。最值定理要求的是取到，不是趋近。

讲给学生听时，讲什么

第一，把"图像不断线"的适用边界划出来。 对初等函数（你会画的那些）它够用，对数学分析它完全不够。这不是纠错，是提醒：定义有适用范围。

第二，间断点分类要能背出判据。 考研和竞赛里最常见的坑就是看到"间断"就慌，其实只要问一句"两侧极限存在吗"，四类立刻分流。

第三，二分法证明值得完整看一遍。 它是这个专题里第一个"构造性证明"——不是证明某物存在，是给出一个找到它的算法。这种思想会在后面反复出现（下一讲的夹逼、后面的牛顿迭代）。

第四，记住四个定理的前提。 做证明题时，题目给你"闭区间+连续"，就是要你用这四个定理；给你"开区间"，就是要你想反例。

思考与拓展

1. 证明 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 处右连续。（提示：定义里 $|x - 0| < \delta$ 要换成 $0 \le x < \delta$。）
2. $f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0\end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续吗？证明你的判断。（提示：用夹逼，注意 $|\sin(1/x)| \le 1$。）
3. 黎曼函数 $R(x)$ 在无理点连续、在有理点间断。试想：这个函数的值在无理点是 0，有理点 $p/q$ 上是 $1/q$。为什么它在无理点连续？（提示：$q$ 大的有理点很少，而且值很小。）
4. 用二分法算 $\sqrt{2}$，从 $[1,2]$ 开始，写前三步得到的区间，并估算多少步后误差小于 $10^{-6}$。
5. 举一个定义在 $[0,1]$ 上、连续、但最大值在端点取得的函数——这说明最值定理的"在某点取到"不保证在内部。

一句话总结

「连续就是极限值等于函数值」，这个定义不需要图像；闭区间上连续函数有界、取最值、有零点、取遍中间值——但闭区间三个字删掉，四条定理全部有反例。

附：本文涉及的史实出处

• 连续的 ε-δ 定义：柯西 1821 年给出雏形，魏尔斯特拉斯 1860 年代定型（与极限定义同步）
• 狄利克雷函数：由狄利克雷（Dirichlet）引入，是"处处不连续"的标准例子
• 有界性定理、最值定理的标准证明依赖波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（有界数列有收敛子列）
• 零点定理的二分法证明：构造性证明的经典范例，直接对应数值计算的二分法
• 柯西对连续性的早期处理未区分一致连续，相关史实见第二讲出处