换元积分与分部积分——两个法则背后的同一个思想

上一讲把微分和积分焊在一起。这一讲用那套工具推出两个计算法则。

但它们不是"新技巧"。它们是把两个已知的微分法则翻译成积分语言：

微分法则	翻译成积分
链式法则 $(f\circ g)' = f'(g)\cdot g'$	换元积分
乘积律 $(fg)' = f'g + fg'$	分部积分

没有新东西，只有翻译。 理解了这一点，两个法则再也不会用错方向。

换元积分：从链式法则来

先从微分出发。设 $F$ 是 $f$ 的原函数（$F' = f$），$u = g(x)$ 可导。由链式法则：

$$\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\,g'(x)$$

两边对 $x$ 积分：

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C = \int f(u)\,du$$

这就是换元积分公式。

注意推导过程的关键：它没有"替换"任何东西，它是链式法则的积分形式。 你之所以能把 $dx$ 换成 $du$，是因为

$$du = g'(x)\,dx$$

这是微分记号的自洽性在发挥作用——第十二讲说过，$dx$、$du$ 不是符号游戏，是"规定 $dx = \Delta x$"之后有严格含义的量。所以"换掉 $dx$"是合法操作，不是形式技巧。

第一类换元（凑微分）：把 $g'(x)dx$ 看出 $du$

$$\int 2x\,e^{x^2}\,dx$$

看出 $u = x^2$，则 $du = 2x\,dx$。于是

$$\int e^{u}\,du = e^u + C = e^{x^2} + C$$

"凑"的本质是识别 $g'(x)dx$ 这个整体。 这需要练习，但没有神秘性。

第二类换元：整体替换

$$\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$$

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$、$dx = 2t\,dt$。代入：

$$\int\frac{2t\,dt}{1+t} = \int\left(2 - \frac{2}{1+t}\right)dt = 2t - 2\ln|1+t| + C = 2\sqrt x - 2\ln(1+\sqrt x) + C$$

这一类要处理"根式、三角、倒代换"等具体变换，是技巧密集区。

定积分换元：上下限也要换

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du$$

上下限跟着换，这是最容易错的地方。写公式时养成习惯：换元必换限。

例：$\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = e - 1$。

$x=0 \to u=0$，$x=1 \to u=1$。

三角换元：一类固定的模式

遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$，分别用：

$$x = a\sin t,\qquad x = a\tan t,\qquad x = a\sec t$$

原理是利用 $\sin^2+\cos^2=1$ 消根号。这不是死记硬背——看到根号里有平方和差，就该想三角恒等式。

分部积分：从乘积律来

同样从微分出发。设 $u = u(x)$、$v = v(x)$ 可导：

$$(uv)' = u'v + uv'$$

移项：

$$uv' = (uv)' - u'v$$

两边积分：

$$\int u\,v'\,dx = uv - \int u'\,v\,dx$$

写成对称形式（记住这个版本）：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

它的本质是"把一个积分转化成另一个积分"。 选 $u$ 和 $dv$ 的目标，是让右边的新积分比左边简单。

口诀：反对幂三指

优先选 $u$ 的顺序：

$$\text{反三角函数} \to \text{对数函数} \to \text{幂函数} \to \text{三角函数} \to \text{指数函数}$$

前面的优先做 $u$，后面的优先做 $dv$。

原因是：$\ln x$、$\arctan x$ 求导会变简单（变成有理函数），而 $e^x$、$\sin x$ 求导不改变复杂程度——所以把"越导越简单"的放 $u$。

例：$\int x\,e^x\,dx$。$x$ 是幂函数，$e^x$ 是指数，所以 $x$ 做 $u$，$e^x dx$ 做 $dv$。

$$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C$$

例二：$\int \ln x\,dx$。这里只有一个函数，但它是优先级最高的。取 $u = \ln x$、$dv = dx$：

$$\int\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

分部积分的循环陷阱

有的题要连续用两次，中间会出现"回到自己"：

$$\int e^x\sin x\,dx$$

第一次：$u = \sin x$、$dv = e^x dx$：

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

第二次对右边再用分部：

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$

代回：

$$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I \implies 2I = e^x(\sin x - \cos x) \implies I = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$$

注意符号：第二轮的 $I$ 移项后是 $+I$ 在右边，所以最后 $2I$。符号错是这类题最常见的失分点。

两个法则的统一：都是微分法则的逆用

把它们放一起看：

	微分	积分
复合	$(f\circ g)' = f'(g)g'$	$\int f(g)g'dx = \int f(u)du$
乘积	$(fg)' = f'g + fg'$	$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

积分的两个计算法则，恰好对应微分的两个结构法则。 这不是巧合——微分和积分互逆，微分有的结构，积分必然有对应物。

这个认知有个实际好处：你记混公式的时候，回到微分那边推一遍，五秒钟就能重建，不用翻书。

常见错误清单

按出错频率排：

1. 定积分换元忘换限 —— 换了元不算上下限，结果差一个量级
2. 分部选错 $u$ —— 把 $e^x$ 选成 $u$，越积分越复杂
3. 循环分部符号错 —— 移项时 $I$ 的符号
4. 三角换元忘回代 —— 最后答案还是 $t$，没换回 $x$
5. 换元后变量混用 —— 同一个式子里又有 $x$ 又有 $u$

第 5 条有个机械解法：换元后，原来的变量应该完全消失。 如果答案里 $x$、$u$ 并存，一定错了。

讲给学生听时，讲什么

第一，两个法则都有"出身"。 不是从积分内部发明的，是从链式法则和乘积律翻译过来的。知道出身，公式永远是推出来的，不是背的。

第二，"换元必换限"。 四个字能救回无数分数。

第三，"反对幂三指"的顺序来自"谁越导越简单"。 讲清原理，就不用背顺序。

第四，循环分部值得完整走一遍。 它是分部积分唯一有技术含量的形态，符号问题必须亲历一次。

第五，答案里不能同时出现两个变量。 这是零成本的检查。

思考与拓展

1. 用换元法计算 $\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx$，并把答案求导验证。
2. 用分部积分计算 $\int x^2 e^x\,dx$（需要两次分部），最后求导验证。
3. 用三角换元计算 $\int\sqrt{1-x^2}\,dx$，并说明几何意义（$x = \sin t$，注意区间）。
4. 计算定积分 $\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$。用两种方法：降幂公式、分部积分。（提示：答案与 $\pi$ 有关。）
5. 为什么 $\int\dfrac{e^x}{x}\,dx$ 没有初等原函数？（提示：这就是为什么你需要学特殊函数。）

一句话总结

换元来自链式法则，分部来自乘积律——积分计算的两个法则都是微分结构法则的翻译；换元必换限，分部选 u 要让新积分更简单，而 dx 之所以能跟着换，靠的是微分的严格定义。

附：本文涉及的史实出处

• 换元积分与分部积分：随微积分基本定理（第十四讲）在 18 世纪确立为标准算法
• "反对幂三指"口诀：现代教学总结的经验法则，源自"优先把求导后变简单的函数设为 u"
• 循环分部（如 $\int e^x\sin x\,dx$）：标准教学例，用于训练分部积分中的代数整理
• 定积分换元的上下限变换：直接来自第十四讲微积分基本定理第二部分