第4讲 无穷小比大小——为什么 sin x 有时能换成 x，有时不能

这一个题目，你很可能见过：

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$$

按"$\sin x \sim x$"，把分子里的 $\sin x$ 换成 $x$，得：

$$\frac{x - x}{x^3} = 0$$

答案是 $\dfrac{1}{6}$，不是 0。

这是高中最难的坎之一。更麻烦的是，同一年你学过另一个题：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$$

这里把 $\sin 2x$ 换成 $2x$，完全正确。

同样是"$\sin x \sim x$"，一次对一次错。口诀说"乘除可用，加减不可用"——可为什么？这一讲把这件事追到底。

答案会分成三层：第一层，$\sin x$ 的近似有不止一个，换成 $x$ 只是其中最粗的一个；第二层，"相等"和"近似"的区别，决定了近似能否被替换；第三层，加减什么时候可以换、什么时候不可以。

第一层：$\sin x$ 的近似不止一个

先忘掉"$\sin x \sim x$"。看一组表。

当 $x = 0.1$ 时：

表达式	值	与 $\sin 0.1$ 的差
$\sin 0.1$	0.0998334166	—
$x = 0.1$	0.1	$1.67 \times 10^{-4}$
$x - \dfrac{x^3}{6}$	0.0998333333	$8.3 \times 10^{-8}$

$x$ 把误差降到 $10^{-4}$ 量级，$x - x^3/6$ 把误差降到 $10^{-8}$ 量级。后者精细一百倍。

这不是巧合。$\sin x$ 的完整展开是：

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

$x$ 是它的第一项，$x - x^3/6$ 是它的前两项，$x - x^3/6 + x^5/120$ 是前三项。每一项都是同一个函数的、不同精度的近似。

「$\sin x \sim x$」用的是第一项。「$x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$」用的是前两项相减。

同一个函数，两个都对，因为对应不同的精度。用第一项去做需要第二项的题，就会错。

这就是开头那道题错在哪：分子 $x - \sin x$ 里，第一项 $x$ 被对消掉了，剩下的是 $x^3$ 项；用一阶近似等于把真正有用的信息扔了。

第二层：什么是"比大小"

要讲清替换规则，得先有语言。无穷小之间可以比大小。

定义：若在同一过程中 $\beta \to 0$、$\alpha \to 0$ 且 $\alpha \ne 0$，

• 若 $\dfrac{\beta}{\alpha} \to 0$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$
• 若 $\dfrac{\beta}{\alpha} \to 1$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\beta \sim \alpha$

读法：$o(\alpha)$ 念"小欧"，$\sim$ 念"等价于"。

$o(\alpha)$ 不是一个具体的函数，是一族函数的统称——凡是比 $\alpha$ 趋于 0 更快的东西都是 $o(\alpha)$。$x^2$ 是 $o(x)$，$x^5$ 是 $o(x)$，$\sin x - x$ 也是 $o(x)$。

有了这个记号，$\sin x$ 的一族近似可以写成：

$$\sin x = x + o(x) \quad\quad \text{（只留第一项）}$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad\quad \text{（留前两项）}$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5) \quad\quad \text{（留前三项）}$$

$o(x^n)$ 的意思是：剩下所有项的阶都高于 $n$，它们在 $x\to 0$ 时比 $x^n$ 更快地消失。

于是替换的本质就清楚了：

用 $x$ 换 $\sin x$，等价于说"我只关心到 $x$ 这一阶，$x^3$ 及以后全部扔进 $o(x)$ 里"。

用 $x - x^3/6$ 换 $\sin x$，等价于说"我关心到 $x^3$ 这一阶"。

第三层：什么时候可以换

现在能回答那个问题了。

乘除法：可以换，理由很短

设 $\alpha \sim \beta$，要算 $\lim \alpha \cdot f$。因为 $\dfrac{\alpha}{\beta} \to 1$，改写：

$$\lim \alpha f = \lim \left(\frac{\alpha}{\beta}\cdot \beta \cdot f\right) = \lim\frac{\alpha}{\beta} \cdot \lim \beta f = 1 \cdot \lim \beta f = \lim \beta f$$

能换的原因是：你只是给整个乘积乘上了一个趋于 1 的因子。 而乘一个趋于 1 的数，不改变极限。

除法同理，因为除以 $\beta$ 相当于乘 $1/\beta$，而 $\alpha \sim \beta$ 保证 $1/\alpha \sim 1/\beta$。

所以 $\lim \dfrac{\sin 2x}{x} = \lim \dfrac{2x}{x} = 2$ 完全合法——$\sin 2x$ 在这个式子里是一个可以被提出来的整体因子。

加减法：麻烦在这里

加减法的麻烦，用一句话说：

加减法里，被扔掉的那一项，可能正好是你想要的那个数。

$\sin x \sim x$ 扔掉的是 $-\dfrac{x^3}{6}$。这个被扔的东西在分母是 $x^3$ 时，恰恰是主角。

看三个例子，这是全讲的核。

例一：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$

正确做法：展开到 $x^3$。

$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ $$x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ $$\Rightarrow \quad \lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$$

第一项消掉了，剩下的是第三项。如果只用 $\sin x \sim x$，等于把分子化成 0，那后面什么都没了。

例二：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$

这是老师的保留曲目。按"$\tan x \sim x$ 且 $\sin x \sim x$"代入，得 $x - x = 0$。

正确做法：两项分别展开到 $x^3$。

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3),\qquad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ $$\tan x - \sin x = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) = \frac{x^3}{2} + o(x^3)$$ $$\Rightarrow \quad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}$$

注意一个细节：两个近似各自的 $x$ 项都是"错"的（$\tan x$ 的第一项是 $x$，是对的；$\sin x$ 的第一项也是 $x$，也是对的）——它们各自作为近似都没问题，错的是相减之后这两个 $x$ 对消，让第三项浮出水面。不是替换错了，是精度不够。

例三：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1 - \cos x}{x^2}$

这道题就不一样了。$1 - \cos x = \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，直接得 $\dfrac{1}{2}$。这里虽然也是减法，但被减去的两项阶数不同——1 是常数（0 阶），$\cos x$ 的一阶项是 1，对消后的第一项就是 $x^2$，二阶就够用。

规律

三条例子排在一起，规律出来了：

加减法中能不能替换，取决于：把近似的那一项扔掉之后，剩下的东西在不在你要的阶数上。

• 分母是 $x^3$，你就要保留到 $x^3$；扔掉 $x^3$ 就是扔掉了答案。
• 分母是 $x^2$，$1 - \cos x$ 保留到 $x^2$ 就够了，因为常数项已经对消掉了。
• 判据：展开到"相减之后第一个不为零的项"。

还有一个常见的加强版条件：如果两个无穷小相减后，它们的第一项系数不相等，那就可以直接换——因为对消不像减法那么彻底，留下的就是你要的阶。但这条只是在"第一项就够"时的捷径，遇到对消就失效，所以不如一律展开稳妥。

$o$ 的运算规则

现在给 $o$ 的用法立个规矩。这些规则用熟了，加减法就是机械操作。

$$o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n) \quad\text{（同阶加减，还是不高于 n 阶的项）}$$ $$o(x^m) \pm o(x^n) = o(x^n) \quad (m > n) \quad\text{（不同阶相加减，取低阶）}$$ $$o(x^m)\cdot o(x^n) = o(x^{m+n}),\qquad x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n}) \quad\text{（相乘，阶数相加）}$$

第二条最重要：不同阶的东西相加减，阶数低的那一方说话。 这就是"x 项比 x^3 项大"的精确说法，也是为什么分子里 $x$ 和 $\sin x$ 一减，$x^3$ 就浮出来了。

顺手打开泰勒公式的门

这一讲写的全是这个形式：

$$f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_n x^n + o(x^n)$$

「用一个多项式逼近一个函数，再注明误差是几阶」——这就是泰勒公式的雏形。

泰勒公式（Taylor series）说的是：如果一个函数足够光滑（有足够多阶导数），那么在一点附近它可以用一个多项式逼近，误差是比最后一项高一阶的无穷小。$\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$\ln(1+x)$ 全部有这种展开。

第十一讲专门讲泰勒公式。 到那时你会看到：这里的 $o$ 记号、精度阶梯、"展开到第几项"，会全部变成一套可以复用的算法。

但先记住这一讲的核心判断——泰勒展开不是公式表，是一个精度的概念：你要多准，就展开到哪一阶。

加减法替换的完整判据

把散落的结论收成一句可以拿去用的：

算 $\lim\dfrac{A - B}{x^m}$ 这类题：把 $A$、$B$ 都展开到 $x^m$ 阶（带 $o(x^m)$），相减，看第一个不为零的项，它的系数就是答案。

如果第一个不为零的项高于 $x^m$，答案是 0；如果低于 $x^m$，极限是无穷或不存在。

第三步"看第一个不为零的项"是关键。它不是技巧，是加减法的本质：同阶相抵，剩的是低阶。

思考与拓展

1. 用展开法算 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x - x\cos x}{x^3}$。（提示：$\sin x$ 展到 $x^3$，$x\cos x$ 也要展到 $x^3$。$x\cos x = x - \dfrac{x^3}{2} + o(x^3)$。）
2. 用展开法算 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$。（提示：$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$。）
3. 为什么 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ 可以直接用 $\sin x \sim x$，而 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x - \sin x}{x^3}$ 不行？用"分母阶数"的语言回答。
4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2}$ 等于多少？（提示：$\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$，注意这里差的阶数。）
5. 已知 $f(x) = x^2 + o(x^2)$，$g(x) = 2x^2 + o(x^2)$，求 $\lim \dfrac{f - g}{x^2}$。为什么这个可以直接算？跟"两个函数第一项系数相同"的条件有什么关系？

一句话总结

sin x ~ x 只是最粗的那个近似；乘除可以换，因为只是乘了个趋于 1 的因子；加减不可以随便换，因为扔掉的那一项可能正是答案——判据只有一个：展开到相减后第一个不为零的项。

附：本文涉及的史实出处

• 高阶无穷小与 $o$ 记号：Landau 符号，由德国数学家兰道（Landau）于 1909 年系统引入
• Bachmann 1894 年提出阶的记号传统，$o$ 与 $O$ 由兰道定型
• 泰勒公式：Brook Taylor 1715 年发表，Lagrange 余项、Peano 余项是后世的严格化形式
• 各展开式：$\sin x = x - x^3/3! + \cdots$、$\cos x = 1 - x^2/2! + \cdots$、$e^x = 1 + x + x^2/2! + \cdots$、$\tan x = x + x^3/3 + \cdots$；本文所有数值（含 $(x-\sin x)/x^3 \to 1/6$、$(\tan x-\sin x)/x^3 \to 1/2$）均经数值验证