微积分基本定理——为什么求导和积分互为逆运算

你已经用了三年这个公式：

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a),\qquad F' = f$$

它让积分从"分割求和取极限"变成"找反导数代入"。没有它，整个微积分实用价值减九成。

但凭什么？为什么求导和积分互为逆运算？

这一讲讲清。这是数学里最美的定理之一，而且证明意外地短。

先把问题摆清楚

两个看起来完全无关的东西：

	微分	积分
解决什么	瞬时变化率	累积总量
方法	差商取极限	分割求和取极限
记号	$\dfrac{dy}{dx}$	$\int_a^b f\,dx$

一个是"切碎看瞬间"，一个是"累积看整体"。方向相反，凭什么互逆？

变上限积分：那个关键构造

关键一步是构造一个特殊函数。固定下限 $a$，让上限动起来：

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

$\Phi(x)$ 的含义是：从 $a$ 积到 $x$，曲线下的面积。

它是一个函数——给一个 $x$，吐一个面积。现在问：$\Phi'(x)$ 是什么？

直觉地说：$x$ 处小小地动一下，面积增加多少？增加的是一条窄窄的竖条，高度约等于 $f(x)$、宽度是 $dx$。所以面积增量约等于 $f(x)\,dx$。那么导数是 $f(x)$。

微积分基本定理就是把这个直觉变成证明。

基本定理第一部分

定理（微积分基本定理·上）：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$

在 $[a,b]$ 上可导，且

$$\Phi'(x) = f(x)$$

换句话说：连续函数一定有原函数，而且就是它自己的变上限积分。

这是划时代的结论。在它之前，人们不知道 $\sin x$、$e^x$ 的原函数一定存在——现在知道了，而且给出了具体构造。

证明

要证 $\Phi'(x_0) = f(x_0)$。给 $x_0$ 一个增量 $h$（设 $x_0 + h \in [a,b]$）：

$$\Phi(x_0+h) - \Phi(x_0) = \int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt$$

用第十二讲的积分中值定理：在 $x_0$ 和 $x_0+h$ 之间存在 $\xi$，使

$$\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt = f(\xi)\cdot h$$

于是差分商

$$\frac{\Phi(x_0+h)-\Phi(x_0)}{h} = f(\xi)$$

当 $h \to 0$ 时，$\xi$ 被夹在 $x_0$ 和 $x_0+h$ 之间，所以 $\xi \to x_0$。由 $f$ 连续，$f(\xi) \to f(x_0)$。

所以 $\Phi'(x_0) = f(x_0)$。证毕。

三步，全部用前面的工具：区间可加性、积分中值定理、连续函数保号。没有新东西——这就是数学分析的常态，新定理是旧工具的组装。

基本定理第二部分

定理（微积分基本定理·下）：若 $F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任一原函数（即 $F' = f$），则

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

证明

由第一部分，$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 也是一个原函数（$\Phi' = f$）。

两个原函数之差 $H = F - \Phi$ 的导数为 0。由第八讲推论一（导数恒为零 ⟹ 常数），$H \equiv C$。

于是

$$F(x) = \Phi(x) + C$$

代入 $x=a$：$\Phi(a) = \int_a^a f = 0$，所以 $F(a) = C$。

代入 $x=b$：

$$F(b) = \Phi(b) + F(a) = \int_a^b f(t)\,dt + F(a)$$

移项，得到牛顿-莱布尼茨公式。证毕。

这个证明短得惊人，但它把前面所有内容串成了一条链：

$$\text{确界原理} \to \text{连续函数可积} \to \text{积分中值定理} \to \text{变上限积分可导} \to \text{导数相同差常数} \to \text{N-L 公式}$$

十二讲的铺垫，在这里兑现。

为什么这是"逆运算"

用复合函数的语言看最清楚。

记 $D$ 是微分算子（$D[F] = F'$），$I_a$ 是积分算子（$I_a[F](x) = \int_a^x F(t)\,dt$）。那么：

• 第一部分说 $D \circ I_a = \text{恒等}$ —— 先积分再微分，回到原函数
• 第二部分说 $I_a \circ D = \text{原函数} - \text{常数}$ —— 先微分再积分，差一个常数

这就是"互逆"的精确含义，和"开平方再平方""取对数再取指数"是同一类结构。

那个常数 $F(a)$ 的存在，对应"反导数不唯一"——这也是第八讲推论二的自然结果。

用定义证明一次：$\int_0^1 x\,dx$

上一讲用黎曼和定义算过，得到 $1/2$。现在用 N-L 公式重做：

$$\int_0^1 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$

一行。两条独立路径，同一个答案。

这个吻合不是巧合——它正是基本定理保证的。但它有个实际价值：你算复杂积分时，永远可以用一个简单情形验证自己没搞错原导数。

实用：解题时的检查清单

N-L 公式让积分变成两步：找原函数、代入相减。绝大多数错误出在第一步。

检查清单：

1. 原函数求对了？ 求导验算，别偷懒
2. 是原函数，不是特解？ 常数项无所谓，因为相减会消掉
3. 区间对吗？ 上下限别写反——写反了差一个符号
4. 被积函数在区间内连续？ 有间断要分段（第十二讲区间可加性）
5. 上下限是常数吗？ 如果上限是 $x$，必须求导，不能直接代入

第 5 条最容易错。$\int_0^x t^2\,dt$ 等于 $\dfrac{x^3}{3}$，不是 $\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{0^3}{3}$ 之后再怎么处理的问题——它本身是 $x$ 的函数，要按函数对待。

一个深度应用：积分不等式

基本定理能把积分问题变成微分问题，反之也行。

例：设 $f$ 连续，证明

$$\left(\int_0^x f(t)\,dt\right)^2 \le x\int_0^x f^2(t)\,dt$$

构造 $G(x) = x\int_0^x f^2 - \left(\int_0^x f\right)^2$。求导：

$$G'(x) = \int_0^x f^2 + xf^2 - 2f\int_0^x f$$

用基本定理把积分号下的东西显式化，然后想办法配方。这条路能走通，但技巧性强。

更一般的结论是柯西-施瓦茨不等式的积分形式，在泛函和概率里是基础工具。这里只示范"基本定理让积分问题可微分化"这个思路。

讲给学生听时，讲什么

第一，构造 $\Phi(x)$ 这一步是灵魂。 学生只背公式，从没见过那个"会动的上限"。见过一次，逆运算关系立刻具体化。

第二，第一部分比第二部分重要。 "连续函数一定有原函数"是存在性结论，它保证 N-L 公式永远有东西可代。第二部分只是把存在性变成计算式。

第三，证明链值得整体看。 从确界原理到 N-L 公式，一条链十二讲。让学生看到数学不是一堆孤立技巧。

第四，清单第 5 条。 变上限求导是考研和高数常见坑，提前埋线。

思考与拓展

1. 用基本定理求 $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt$。（提示：上限是 $x^2$，用链式法则。）
2. 设 $f$ 连续且 $f(x) = 1 + \int_0^x tf(t)\,dt$，求 $f(x)$。（提示：两边求导，得到微分方程。）
3. 用基本定理计算 $\int_0^\pi \sin x\,dx$，并给出几何解释。（提示：$\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上非负。）
4. 为什么基本定理第一部分要求 $f$ 连续？找一个不连续的反例，说明 $\Phi'(x) = f(x)$ 会在哪里失效。
5. 若上限和下限都是 $x$ 的函数，$\dfrac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt$ 怎么算？

一句话总结

把积分上限变成变量，就得到了连续函数的原函数——Φ′ = f 让「积分再微分」回到起点；两个原函数差一个常数，让「微分再积分」回到 F(b)−F(a)。互逆不是巧合，是一个构造加一条推论。

附：本文涉及的史实出处

• 微积分基本定理：牛顿 1666 年前后、莱布尼茨 1670 年代各自发现；严格证明由柯西 1823 年《Résumé des leçons》基于其中值定理给出
• 历史上牛顿称之为"流数术的反问题"，莱布尼茨以符号体系闻名
• 变上限积分构造与"导数相同差常数"推论：现代教材通行写法