你在高中学过这些：

$$e^x \approx 1 + x,\qquad \sin x \approx x,\qquad \ln(1+x) \approx x$$

老师说"这是近似公式，$x$ 很小的时候用"。你也就背下来了。

但三个问题没人回答：它们从哪来？误差多大？凭什么在 $x$ 小的时候能用？

泰勒公式一次回答这三个。它是整个微分学的高潮——前面九讲所有的东西（极限、连续、导数、中值定理）都是为它做准备。

从一个笨问题开始

能不能用一个多项式代替任意函数？

为什么是多项式？因为多项式是人类唯一能"精确计算"的函数——加减乘除，有限次，不会出错。而 $\sin x$、$e^x$ 这些，离开了计算器你一个都算不出来。

如果能用一个多项式抓住它们，一切都能算。这是泰勒公式的动机，非常实用主义。

从最简单的开始。一次多项式 $P(x) = c_0 + c_1 x$，要在 $x = 0$ 附近代替 $f(x)$，该选什么系数？

自然的想法：让 $P$ 和 $f$ 在 0 点"尽可能像"。

• 函数值相等：$P(0) = c_0 = f(0)$ → 定出 $c_0$
• 一阶导数相等：$P'(0) = c_1 = f'(0)$ → 定出 $c_1$

得到 $P(x) = f(0) + f'(0)x$。这就是线性近似，也就是第六讲的微分。

但这只保证 0 点附近"一阶相同"。想更准，就加二次项，同时要求二阶导数也相等：

$$P(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2,\quad P''(0) = 2c_2 = f''(0)$$

定出 $c_2 = \dfrac{f''(0)}{2}$。

继续往下，要求三阶、四阶……直到 $n$ 阶导数全部相等。你会得到一个固定的模式：

$$c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$$

系数是导数除以阶乘。 这就是泰勒公式的系数来源——不是谁的发明，是"让多项式在一点的所有阶导数都和原函数相同"这个要求逼出来的。

泰勒公式的两种形式

带佩亚诺余项（局部形式）

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)$$

这是"在 0 点附近"的展开，余项是 $o(x^n)$——只知道误差比 $x^n$ 高阶，不知道具体多大。

它的用途是算极限（第四讲的 $\sin x \sim x$ 就是它的第一项），不需要知道误差具体多少，只要知道阶数。

带拉格朗日余项（整体形式）

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1},\qquad \xi \in (0,x)$$

这个余项给出了误差的显式表达式：某阶导数在某个中间点的值，除以阶乘，乘 $x^{n+1}$。

它的用途是估计误差、证明不等式——因为你能具体算出误差上界。

两者的区别是：佩亚诺告诉你"误差是高阶的"，拉格朗日告诉你"误差具体是多少量级"。算极限用前者，估误差用后者。

展开是怎么推出来的

只推一次，但推清楚。用柯西中值定理（第八讲见过它）。

构造辅助函数（这是关键技巧，跟中值定理一样）：

$$G(t) = f(x) - \left[f(t) + f'(t)(x-t) + \frac{f''(t)}{2!}(x-t)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t)^n\right]$$

它衡量"用 $f$ 在 $t$ 点的 $n$ 阶泰勒多项式逼近 $f(x)$"的误差。同时定义

$$H(t) = (x-t)^{n+1}$$

现在对 $f$ 和 $H$ 在区间 $[0, x]$ 上反复用柯西中值定理。每次用都会消掉一阶导数，最后得到：

$$G(0) = \frac{G^{(n)}(0)}{H^{(n)}(0)}\cdot H(0) + \cdots$$

一路化下去，最终：

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$$

证明的核心思想：把"误差"构造成一个函数，然后用中值定理反复销项。 这个手法在中值定理那一讲见过——辅助函数、化归。

你不用会证，但要知道这不是巧合，是前面所有工具的一次集中调用。

四个最基本的展开

先把最常用的四个写出来，配图比较精度。

$e^x$：系数最简单

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

每一阶导数都是 $e^x$，在 0 点都是 1，所以系数全是 $\dfrac{1}{k!}$。这是最好记的一个。

$\sin x$：只有奇次项

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

只有奇次幂，且符号交替。为什么？因为 $\sin x$ 是奇函数——奇函数只含奇次项。

$\cos x$：只有偶次项

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$

同理，偶函数只含偶次项。

$\ln(1+x)$：收敛慢

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \qquad (-1 < x \le 1)$$

系数是 $\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}$。注意它比前三个收敛慢得多——没有阶乘在分母，这是它的软肋。

一个应用：为什么 $x$ 小的时候近似才有效

现在能回答开头的问题了。

取 $\sin x$ 的一阶和二阶（其实只有一阶）：

$$\sin x = x + o(x)$$

这个式子说的是：$x$ 足够小时，$x^3$ 项可以忽略。

但"足够小"是多小？拉格朗日余项给出答案：

$$\sin x = x + \frac{\sin'\xi}{3!}x^3 = x + \frac{-\cos\xi}{6}x^3,\qquad |\xi| < |x|$$

误差上界是 $\dfrac{x^3}{6}$。

$x = 0.1$：误差上界 $\dfrac{0.001}{6} \approx 1.7\times 10^{-4}$。真值 $\sin 0.1 = 0.0998334$，一阶近似是 0.1，实际误差 $1.67\times 10^{-4}$。吻合。

$x = 1$：误差上界 $\dfrac{1}{6} \approx 0.167$。真值 $\sin 1 = 0.8415$，一阶近似是 1，误差 0.159。这时候一阶近似已经很糟了。

所以"$x$ 很小的时候才能用"的精确含义是：误差上界 $\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$ 小于你能容忍的范围。 不是玄学，是可计算的。

第二个应用：统一第四讲

第四讲费了半天劲讲的"等价无穷小"和"展开到第几项"，泰勒公式一句话收编。

$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$ 的第一项是 $x$，所以 $\sin x \sim x$。

$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots$ 的前两项相减：$x - \sin x = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，所以 $x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}$。

所有等价无穷小都是泰勒展开降维使用的产物。 你记不住那串等价关系的时候，回到泰勒展开自己截。

第三个应用：统一第九讲

洛必达能做的，泰勒基本都能做，而且常常更快。

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$$

洛必达要两次。泰勒公式一次：

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ $$\ln(1+x) - x = -\frac{x^2}{2} + o(x^2) \implies \lim = -\frac{1}{2}$$

展开、代入、看第一个不为零的项。三步，不用求导。

讲给学生听时，讲什么

第一，讲清动机。 为什么要用多项式代替函数——因为多项式是唯一能精确计算的东西。这句话一讲，泰勒公式从"背公式"变成"解决真问题"。

第二，系数不是背的，是推的。 "让所有阶导数相等"这个要求一说，$\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}$ 立刻合理。而且 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 的区别（阶乘 vs 符号交替 vs 奇偶）全部从函数性质自然流出。

第三，两种余项分开用。 算极限用佩亚诺，估误差用拉格朗日。混用会出问题。

第四，它是前面所有内容的汇合点。 极限、连续、导数、中值定理，全在这。学到这里应该回头看一眼——你会发现数学分析的地基篇到这里封顶了。

思考与拓展

1. 写出 $f(x) = \dfrac{1}{1-x}$ 在 0 点的泰勒展开，并说明它和等比数列求和公式的关系。
2. 用泰勒公式（拉格朗日余项）证明：当 $x > 0$ 时 $e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$。
3. 用泰勒公式计算 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x - 1}{x^2}$，并解释为什么这里用一阶展开会失败。
4. 估算 $\sin(0.5)$ 用三阶泰勒的值，并和真值比较；再用拉格朗日余项算出误差上界。
5. 为什么 $\ln(1+x)$ 的展开收敛比 $e^x$ 慢？从系数结构上解释。

一句话总结

泰勒公式的系数不是谁定的，是"让多项式在一点的所有阶导数都和原函数相同"逼出来的；算极限用佩亚诺余项，估误差用拉格朗日余项——它是微分学所有工具的一次汇合。

附：本文涉及的史实出处

• 泰勒公式：Brook Taylor 1715 年发表；拉格朗日余项（1797）、柯西余项、积分余项均为后世的严格化
• 佩亚诺余项：Peano，19 世纪末，专用于局部极限计算
• $\sin x$、$\cos x$、$e^x$、$\ln(1+x)$ 的展开式：标准结果，本文数值验证
• 泰勒公式证明依赖柯西中值定理（见第八讲）