反常积分——把无穷放进积分号

前十三讲，积分号下永远是：有限区间 + 有界函数。

但物理和概率里到处是另外两种东西：

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx,\qquad \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$

前者区间无穷，后者函数无界。黎曼积分对两者都拒绝。

这一讲讲怎么合法地把它们纳入。名字叫反常积分（improper integral）——"反常"二字是提醒：它不是黎曼积分，是黎曼积分的极限。

第一类：无穷区间

定义：设 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义，任取 $b > a$，若 $\int_a^b f$ 存在，且

$$\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$

存在且有限，就称 $\int_a^{+\infty}f$ 收敛，极限值就是积分值。

换一种写法更直观：

$$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$

注意：这是一个极限。 所以"收敛"这个词的含义，是"这个极限存在"。

同理有 $\int_{-\infty}^b$ 和双侧的 $\int_{-\infty}^{+\infty}$，后者定义为两端分别收敛后再相加。

第二类：无界函数

定义（瑕积分）：设 $f$ 在 $(a,b]$ 上有定义，在 $a$ 的右邻域无界（$a$ 叫瑕点），任取 $\varepsilon > 0$，若

$$\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx$$

存在有限，就称收敛。

换写法：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$$

关键认知：瑕点处积分不是函数值乘区间长，而是一个极限。

例：$\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$。瑕点在 0。

$$\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = \left[2\sqrt x\right]_\varepsilon^1 = 2 - 2\sqrt\varepsilon \to 2$$

收敛，等于 2。 尽管函数在 0 处冲向 $+\infty$，积分却有有限值。

这第一次展示了反常积分的反直觉之处：无穷大的函数，也能有有限的积分。

最经典的判据：$p$ 积分

记住这一族，其余都能归化到它。

$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} \quad\begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \le 1\end{cases}$$ $$\int_0^1\frac{dx}{x^p} \quad\begin{cases} \text{收敛}, & p < 1 \\ \text{发散}, & p \ge 1\end{cases}$$

注意第二行：在 $[0,1]$ 上，指数越小越容易收敛。 因为 $\dfrac{1}{\sqrt x} = x^{-1/2}$ 里 $p = 1/2 < 1$，收敛；而 $\dfrac{1}{x}$ 里 $p=1$，发散。

推一下第一个（$x \ge 1$，$p > 1$）：

$$\int_1^b x^{-p}\,dx = \frac{b^{1-p}-1}{1-p} = \frac{1-b^{1-p}}{p-1}$$

$p>1$ 时 $b^{1-p} = b^{-(p-1)} \to 0$，极限 $\dfrac{1}{p-1}$，有限 → 收敛。

$p=1$ 时 $\int_1^b \dfrac{dx}{x} = \ln b \to \infty$ → 发散。

这个分界点 $p=1$ 是最重要的知识。 大部分积分题，都比到某个幂次，然后对照它判断。

判敛的工具箱

比较判据

若 $0 \le f(x) \le g(x)$ 且 $\int g$ 收敛，则 $\int f$ 收敛。 若 $f(x) \ge g(x) \ge 0$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。

"大的收敛 ∴ 小的收敛；小的发散 ∴ 大的发散"，天然方向。

极限比较判据（更实用）

若 $f, g \ge 0$ 且 $\lim\dfrac{f}{g} = c \in (0, +\infty)$，则 $\int f$ 和 $\int g$ 同敛散。

这个最好用——因为大部分函数在无穷远处只差一个幂次。

例：$\int_1^\infty \dfrac{dx}{\sqrt{x^3+x}}$。当 $x\to\infty$，$x^3 + x \sim x^3$，所以 $\dfrac{1}{\sqrt{x^3+x}} \sim x^{-3/2}$。$p = 3/2 > 1$，收敛。

阿贝尔判据与狄利克雷判据

处理带振荡的积分，比如 $\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{x^\alpha}\,dx$。

狄利克雷判据：若 $f$ 的振幅有界（原函数有界），$g$ 单调趋于 0，则 $\int fg$ 收敛。

用它：$\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx$ 收敛——因为 $\sin x$ 的原函数 $-\cos x$ 有界，$\dfrac{1}{x}$ 单调趋于 0。

但这个积分不是绝对收敛的——$\int_1^\infty \dfrac{|\sin x|}{x}dx$ 发散。这叫条件收敛，是级数部分第十七讲的重点，这里先埋个种子。

绝对收敛与条件收敛

若 $\int |f|$ 收敛，称 $\int f$ 绝对收敛。 若 $\int f$ 收敛但 $\int |f|$ 发散，称条件收敛。

绝对收敛 ⟹ 收敛（三角不等式），反之不然。

两者的性质差异巨大：绝对收敛的积分可以随便重排、随便交换顺序；条件收敛的不行，重排可以改变结果，甚至可以让它变成任何值（黎曼重排定理）。

这是"无穷"第一次展露它的危险性——有限次运算的直觉，在无限次上失效。第三讲结尾埋的那个坑，这里开始兑现。

一个惊奇的例子：积分与极限不能交换

第三讲说过：有限次运算的法则，不能推广到无限次。这里给积分的版本。

考虑

$$f_n(x) = \begin{cases} n, & x \in \left(0, \dfrac{1}{n}\right) \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$$

每个 $f_n$ 都是一个"又高又窄"的方块，面积为 $n \cdot \dfrac{1}{n} = 1$。

逐点极限：$f_n(x) \to 0$ 对每个固定的 $x > 0$（因为 $x$ 固定，只要 $n > 1/x$，就有 $f_n(x) = 0$）。

于是有

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x) = 0,\qquad \text{但}\qquad \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n = \lim_{n\to\infty}1 = 1$$

逐点极限的积分是 0，积分的极限是 1。两者不等。

"高而窄"的方块把它的面积藏在逐点极限看不见的地方。 这就是为什么需要一致收敛——它保证函数族不会偷偷把质量藏在越来越窄的区间里。第十九讲专门讲它。

怎么判别：一个流程图

拿到一个反常积分题，按这个顺序：

$$\text{无穷区间？} \to p\text{ 积分比较/极限比较}$$ $$\text{瑕点？} \to \text{看瑕点附近的行为，仍比到 }x^p$$ $$\text{带振荡（}\sin,\cos\text{）？} \to \text{狄利克雷/阿贝尔判据}$$ $$\text{分子分母都是多项式？} \to \text{直接提取主项定阶}$$

先判断类型，再选工具。 反常积分的题，九成死在"没判断类型就套方法"。

讲给学生听时，讲什么

第一，反常积分是极限，不是积分。 这是它所有反常性质的根源。定义写清楚，后面都好说。

第二，$p$ 积分的分界点背下来。 无穷区间上 $p>1$ 收敛，有限区间上 $p<1$ 收敛——方向相反，这是最容易记错的地方。记住"越远越要 $p$ 大，越近越要 $p$ 小"。

第三，极限比较判据最实用。 大部分题都只需要"等价无穷大"的思想。

第四，交换失效的例子值得完整看。 那个又高又窄的方块，是理解一致收敛的最好入口。

第五，条件收敛先埋种子。 这里点到，第十七讲展开。

思考与拓展

1. 判断 $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2+x}$ 的敛散性，并求值。
2. 判断 $\int_0^1 \dfrac{dx}{\ln x}$ 的敛散性。（提示：瑕点在 0，注意 $\ln x \to -\infty$。）
3. 判断 $\int_0^\infty \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ 的敛散性。（提示：在无穷远处它像 $1/x$。）
4. 证明 $\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx$ 条件收敛：先用狄利克雷判据证收敛，再证 $\int_1^\infty\dfrac{|\sin x|}{x}dx$ 发散。
5. 构造函数列 $f_n$，使 $\int_0^1 f_n \to 0$ 但 $\lim f_n(x)$ 在某个区间上不为 0。

一句话总结

反常积分是黎曼积分的极限；p 积分是分界线（无穷区间 p>1，有限区间 p<1，方向相反），极限比较是常用尺；而极限与积分不能随便交换——又高又窄的方块把面积藏在了逐点极限看不见的地方。

附：本文涉及的史实出处

• 反常积分：随黎曼积分理论在 19 世纪建立，欧拉和拉普拉斯在具体计算中已实质使用
• 柯西主值：一种对称处理发散积分的方法，与通常意义下的收敛不同
• 极限与积分交换的反例：现代分析标准例子，引出一致收敛的必要性
• 狄利克雷判据、阿贝尔判据：标准收敛判据，用于带振荡的反常积分