第6讲 导数与微分——dy 到底是个什么东西

先问一个问题：$\dfrac{dy}{dx}$ 是一个分数吗？

你在高中学积分的时候，铁定干过这种事：

$$dy = f'(x)\,dx$$

然后两边积分。看起来 $dy$ 除以 $dx$，$dx$ 约分约掉了，非常自然。

但真到严格场合——比如换元积分 $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$ 的推导——教师会说一句"这里把 $dx$ 当成分数拆开用是形式上的，严格证明要靠链式法则"。

那 $dy$、$dx$ 到底是数、是符号、还是一种约定？这一讲讲清。

导数的定义：先把差分商写好

从一个具体问题开始：怎么刻画"变化的快慢"？

设函数 $y = f(x)$。在 $x_0$ 处给自变量一个增量 $\Delta x$，函数值得到增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$。比值

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

叫平均变化率——割线的斜率。

若 $\Delta x \to 0$ 时这个比值的极限存在，就称 $f$ 在 $x_0$ 可导，极限值叫导数：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

几何意义是切线的斜率。

关键点：这是一个极限，用的是第二讲的 ε-δ 语言。所以"存在"两个字有严格含义——它意味着任给 $\varepsilon>0$ 能找到 $\delta>0$，不是"看起来趋近"。

微分：被线性化的那部分

现在引入微分。设 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 可导，则对增量 $\Delta x$，函数增量可以拆成两块：

$$\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = A\,\Delta x + o(\Delta x)$$

其中 $A = f'(x_0)$。这个拆法不是假设，是导数定义的同义改写：$f'(x_0)$ 存在 ⟺ 增量能这样分成"线性主部"+"高阶无穷小"。

这里定义：

• $A\,\Delta x = f'(x_0)\,\Delta x$ 叫函数的微分，记作 $dy$
• $\Delta x$ 本身叫自变量的微分，记作 $dx$，规定 $dx = \Delta x$

于是：

$$dy = f'(x_0)\,dx,\qquad \Delta y = dy + o(\Delta x)$$

用文字说：微分 $dy$ 是函数增量的线性主部——"用一个切线代替曲线"的那一块误差可以忽略，剩下的就是高阶无穷小。

几何意义：为什么可以"拆开"

关键在这：自变量微分规定 $dx = \Delta x$。

这个规定不是随意的，它让符号完美自洽：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x_0)\,dx}{dx} = f'(x_0)$$

所以 $dy/dx$ 确实可以当一个分数来拆——因为分子 $dy$ 里含有一个与分母 $dx$ 严格成比例的因子，而这个比例系数正是导数。 这不是形式游戏，是一个自洽的记号系统。

你高中敢那样拆，底气在这。而教师说"形式如此"，是因为课堂上没讲"$dx=\Delta x$"这个规定——讲了你就知道它为什么合法。

可导与连续：方向和三个反例

定理：若 $f$ 在 $x_0$ 可导，则 $f$ 在 $x_0$ 连续。

证明：三行。要证 $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x) - f(x_0)) = 0$。把差写成

$$f(x) - f(x_0) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x - x_0)$$

$x \ne x_0$ 时前一个因子趋于 $f'(x_0)$（有限），后一个因子趋于 0。乘积趋于 0。证毕。

反过来不成立。三个经典反例，分别对应三种不同的破坏方式：

反例一：$f(x) = |x|$ 在 $x=0$。 连续（左右极限都是 0），但左导数 $-1$、右导数 $+1$ 不相等，不可导。这是"尖点"。

反例二：$f(x) = x^{1/3}$ 在 $x=0$。 连续，但差分商 $\dfrac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3} \to \infty$。切线垂直，斜率无穷大，导数不存在。这是"垂直切线"。

反例三：$f(x) = x^{2/3}$ 在 $x=0$。 连续。差分商 $\dfrac{h^{2/3}}{h} = h^{-1/3}$，从右侧趋于 $+\infty$、左侧趋于 $-\infty$，两侧发散方向还不同。这是"尖点"的一种更不对称的形态。

三个反例排开，说明一件事：连续只要求"函数值跟过来"，可导要求"增量能用线性主部逼近"——后者的要求强得多。

函数在 0 点	连续	可导	失败原因
$\sin x$	✅	✅	—
$\lvert x\rvert$	✅	❌	左右导数不等（尖点）
$x^{1/3}$	✅	❌	差分商趋于 ∞（垂直切线）
$x^{2/3}$	✅	❌	两侧差分商发散方向相反
狄利克雷函数	❌	❌	极限不存在

dy 到底怎么用：一个算法

给你一个能上手的流程。要算 $\Delta y$ 的近似，分三步：

1. 算出 $f'(x_0)$
2. 微分 $dy = f'(x_0)\,dx$
3. $\Delta y \approx dy$，误差是 $o(dx)$，即比 $dx$ 高阶

例：$f(x) = x^2$，在 $x=2$ 处，$\Delta x = 0.1$。

真值：$\Delta y = 2.1^2 - 2^2 = 0.41$。 微分：$dy = f'(2)\cdot 0.1 = 4 \times 0.1 = 0.4$。 误差：$0.41 - 0.4 = 0.01 = \Delta x^2$。

误差恰好是 $\Delta x^2$，正是 $o(\Delta x)$。 线性的那一块抓走了主要的量，剩下的随 $\Delta x$ 平方级衰减。

这个"线性近似 + 高阶误差"的结构，就是第十讲泰勒公式的全部原型。

常见误解：dy 和 Δy 不是一回事

最容易混的地方：微分是近似，不是增量。

$$\Delta y = 0.41,\qquad dy = 0.4$$

两者只在小增量时接近。把 $dy$ 当成 $\Delta y$ 用，在小量近似里没问题，在严格场合就是错的。

几何上看更清楚：$\Delta y$ 是曲线的真实增量，$dy$ 是切线的增量。曲线和切线只在切点接触，离开切点就分岔——分岔的量就是高阶无穷小。

讲给学生听时，讲什么

第一，把 $dx = \Delta x$ 这条规定讲出来。 学生不是不会用微分，是不知道它凭什么能那么用。这条规定一句话，能把"形式主义"变成"有依据的操作"。

第二，可导与连续的关系要记牢方向。 可导 ⟹ 连续，连续 ⇏ 可导。这个箭头方向考试反复考，但关键是理解强度差异：连续是"值跟过来"，可导是"增量可线性化"。

第三，三个反例各代表一种失败。 不用背函数，要记住失败的方式：左右不等、趋于无穷、方向相反。

第四，微分是泰勒公式的第一步。 第十讲会展开成全貌，这里记住"线性主部 + 高阶余项"这个骨架就够了。

思考与拓展

1. 用定义求 $f(x) = x^3$ 在 $x=1$ 处的导数，并算出 $\Delta x = 0.01$ 时的 $\Delta y$ 与 $dy$，比较误差。
2. 证明：$f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处连续但不可导。（提示：差分商是 $\dfrac{\sqrt{h}}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$。）
3. 若 $f$ 在 $x_0$ 可导，$g$ 在 $x_0$ 不可导，$f+g$ 是否可导？$f\cdot g$ 呢？（提示：构造具体例子，不要空想。）
4. 用微分估计 $\sqrt{4.01}$，并算出真值比较误差。（提示：取 $f(x)=\sqrt{x}$，$x_0=4$，$dx=0.01$。）
5. 为什么"垂直切线"算作不可导？如果规定"斜率无穷大也算有导数"，会出现什么问题？

一句话总结

导数是差分商的极限，微分是增量的线性主部；因为规定 dx = Δx，dy/dx 才真的能像分数一样拆开——而可导之所以强于连续，正在于它要求增量能被线性主部逼近。

附：本文涉及的史实出处

• 导数的极限定义：柯西 1821 年《分析教程》中给出雏形，魏尔斯特拉斯严格化
• 微分记号 $dx$、$dy$：莱布尼茨创立的原记号，其可分数拆分的合法性来自 $dx=\Delta x$ 的规定
• 微分的"线性主部"解释：19 世纪后期分析学标准表述，是泰勒展开与逼近论的起点