第1讲 无穷小的两千年官司——「趋近」这个词背后发生了什么

你的课本上有这么一句话：

当 $x \to 0$ 时，$\dfrac{\sin x}{x} \to 1$。

底下配了个表格：$x = 0.1$ 时比值是 0.99833，$x = 0.01$ 时是 0.99998，$x = 0.001$ 时是 0.99999983。所以你看，它趋近于 1。

好。那我问你一个问题：凭什么？

你当然可以说，因为表格里越来越接近 1。但表格只能列三行，$x$ 还可以是 $10^{-10}$、$10^{-100}$、$10^{-1000}$。你怎么知道在后面某个地方，它不会突然掉到 0.5 去？

课本没有回答这个问题。不是课本偷懒，是因为这个问题人类认真地吵了两千多年，吵出过命、骂过战、把数学分成了两半，最后由一伙德国人在 1860 年代用一个古怪的办法收了场。

这个专题讲的就是这场官司。

芝诺：第一个说"你说不清"的人

公元前五世纪，有个叫芝诺的人提出了一个悖论，你大概听过：

阿喀琉斯追乌龟。乌龟先爬一段，阿喀琉斯要追上乌龟，得先跑到乌龟现在的位置；可那时乌龟又往前爬了一点。所以他永远追不上。

今天的你知道答案：那个距离差构成一个等比数列，加起来是有限的。但芝诺要的不是答案，他指出的是一个逻辑漏洞：

你要说阿喀琉斯追得上乌龟，就得回答我的问题：无限多个加起来，凭什么等于有限？

这个问题，两千多年里没有人真正回答过。

芝诺之后，希腊人怕了。欧几里得的《几何原本》从头到尾只用有限步推理，凡是涉及"无限"的地方都绕着走——他们宁可放弃一大片数学，也不愿意在逻辑上留下这个洞。

这是人类第一次因为"说不清楚"而砍掉半个数学。

牛顿和莱布尼茨：说不清，但真能用

时间快进到十七世纪。牛顿和莱布尼茨各自独立搞出了微积分，而且他们都用了一个概念：无穷小——比任何正数都小、但又不是 0 的东西。

这东西用起来极其好用。算瞬时速度，就让时间增加一个无穷小量 $dt$；算曲线下面积，就把区域切成无穷多个无限细的条。一通操作，结果全对。

但你要是问牛顿：$dt$ 到底是不是 0？

他答不上来。而且他能答上来才怪——这个概念本身就是自相矛盾的：

如果 $dt$ 不是 0，你就不能随手把它扔掉；如果 $dt$ 是 0，那你开头加它干什么？

牛顿本人含糊地写过：无穷小量是"刚刚产生的增量的最终比"。莱布尼茨的说法是"无限小的、但还没有消失的量"。翻译一下：两个人都没有说清楚。

而那个时候的数学界流行一句话，正好可以概括风气：算吧，管它对不对。

结果呢？结果对得惊人。行星轨道、潮汐、摆的周期，用微积分全算出来了。牛顿的《自然哲学的数学原理》成了科学史上最伟大的著作之一。

一个基础说不清的理论，硬是改变了世界。这是数学史上最荒唐、也最真实的一段。

贝克莱：你说不清，那我就来骂

荒唐了大概一百年，1734 年，有人站出来骂了。

乔治·贝克莱，爱尔兰人，克罗因的主教。他写了一本小册子，书名本身就不客气：《分析家：或致一位不信教的数学家》。

这本书的逻辑是这样的：你们数学家整天嘲笑我们信教的讲"奇迹是说不清的"，可你们自己的微积分，根基比我信的东西还不牢。

然后他说出了那句后来被所有数学系学生记住的话：

它们既不是有限的量，也不是无穷小的量，又不是零。我们难道不可以称它们为"消失了量的幽灵"吗？

这句话的杀伤力在哪？它不是说微积分算错了。贝克莱明确承认微积分的结果是对的——他攻击的是：你们证明它的过程是错的。你能算对，不等于你知道自己为什么算对。

打个比方。一个学生考试选择题全对，但你问他为什么选 B，他说"感觉"。贝克莱说的就是这件事：微积分是数学界的"感觉派"，而且整个数学界都捏着鼻子认了。

按理说这一骂就该完了。但数学界没有倒台，因为大家发现：骂归骂，活还得干。 行星还得算，桥还得建。于是 18 世纪的数学就在这个状态下狂奔——一边疯狂出成果，一边根基悬空。

数学家给这个状态起了个名字，叫"严格性危机"。

柯西：第一次认真的补丁

第一个认真补这个洞的是柯西。

奥古斯丁-路易·柯西，法国人，19 世纪最多产的数学家之一（光是以他命名的东西就有柯西不等式、柯西收敛准则、柯西积分公式、柯西中值定理……）。1821 年他出版《分析教程》，第一次尝试把分析学从几何直观里解放出来，改用纯粹的算术定义。

关于极限，他给出的说法大意是：

当变量逐次取的值无限接近一个固定值，使这个变量与固定值的差想多小就多小，我就说这个固定值是极限。

听出来了吗——"想多小就多小"。 柯西没有用"无穷小"，他换了个说法，用"大小的任意性"来定义。

这是划时代的一步。但柯西的说法还有毛病：它说的是一个"过程"，是"越来越近"，这仍然是个动态的描述。而数学上的定义必须是静态的、可以被一次性检查的。

更要命的是，柯西自己在这上面栽了跟头。他的书里有个定理，用今天的话说是把"连续"和"一致连续"搞混了，证明实际上不成立。跳进这个坑里的人包括他本人和他的学生们，直到几十年后才有人补上。

魏尔斯特拉斯：把"越来越近"改成一句可检查的话

真正的收场人是卡尔·魏尔斯特拉斯，德国人，人称"现代分析之父"。

此人有个传奇经历：他年轻时读的是法律和财政，准备当公务员，在一次中学代课时迷上了数学，之后一边在偏远城镇教中学一边自修，四十岁左右才拿到博士学位并进入柏林大学。他是数学史上最晚成名的大数学家之一。

1861 年，魏尔斯特拉斯给出了极限的定义。原话不是课本那个版本，但意思一样：

如果对于无论多么小的正数 $\varepsilon$，总能找到一个界限，使当 $|x-a|$ 小于这个界限时，$|f(x)-L|$ 小于 $\varepsilon$，那么 $L$ 就是极限。

我把这句翻译成人话：

你随便报一个误差范围，只要你说得出"多近才算近"，我就能找到一个范围，让在那个范围里的点，函数值离极限不超过你说的数。

这个定义看起来啰嗦，但它做到了柯西没做到的事：

它把"越来越近"这个动态过程，变成了一句可以一次性检查的静态陈述。

你不需要"等它趋近"，你只需要验证："对于任意小的 $\varepsilon > 0$，存在……"。这句话没有时间，没有过程，没有"越来越"，只有量词和不等式。它是一个可以被证明为真或为假的命题。

无穷小从此不需要了。牛顿那个说不清的 $dt$、莱布尼茨那个"没有消失的量"，全部作废。数学分析从此建立在一个不依赖任何直观、只依赖逻辑的东西上。

你课本上省掉的部分

现在回到开头那个问题：凭什么说 $x \to 0$ 时 $\dfrac{\sin x}{x} \to 1$？

课本的答法：代三个数进去看看，越来越接近 1。

大学的答法：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使当 $0 < |x| < \delta$ 时，$\left|\dfrac{\sin x}{x} - 1\right| < \varepsilon$。这是一个命题，可以被证明（用到 $|\sin x| \le |x|$）。

课本省掉的不是难度，是这场官司的结论。

而这一讲最想让你记住的，是下面这句话：

课本给你"趋近"这个词，是因为两个词背后有区别。"趋近"是个日常词汇，意思是越来越近；而 $\varepsilon$-$\delta$ 是个定义，意思是一个可以被证明的承诺。

高中的时候你不需要知道这个区别，你只需要算得对。但如果你以后念数学系，你迟早会发现：你以前学的"求极限"，其实只是极限的一百种算法中的十几种；而极限本身是什么，课本从来没讲。

这就是这个专题要干的事。

这个专题怎么走

接下来十九讲，我们把高中的操作手册还原成全貌：

第二讲讲 $\varepsilon$-$\delta$ 到底怎么用，为什么它是"一场抬杠定下的规矩"；第三讲讲极限的四则运算法则，为什么不能把极限符号随便搬来搬去；第四讲讲无穷小比大小——同阶不是一样小。

然后是连续、微分、积分、级数。每一讲都会找到高中课本上对应的那个"裂缝"，告诉你课本省略了什么、为什么省略、以及省略之后你以后还付不付得起。

一句话：这个专题不是把大学课本搬到高中来，是把高中的"理所当然"还原成"来之不易"。

思考与拓展

1. 为什么 $0.999\ldots = 1$ 这件事，跟芝诺的悖论是同一个问题的不同版本？
2. 用"越来越接近"这个说法描述 $\dfrac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$ 时的极限，然后指出这个说法里至少有两个含糊的地方。
3. 如果 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，你能造出一个 $x \to 0$ 的过程，使 $f(x)$ 不趋近于 1 吗？（提示：想想定义里那个"存在"是谁在存在。）
4. 贝克莱说"结果对不等于过程对"。举一个你自己学习里的例子：什么情况下答案是蒙对的？

一句话总结

「趋近」这个词，人类说了两千年才说清；课本直接告诉你结论，是因为过程太长——但你该知道那个过程存在。

附：本文涉及的史实出处

• 芝诺悖论：公元前 5 世纪，载于亚里士多德《物理学》
• 牛顿《自然哲学的数学原理》：1687 年；莱布尼茨微积分论文：1684 年
• 贝克莱《The Analyst; or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician》：1734 年；"ghosts of departed quantities" 原文见该书第 35 节
• 柯西《Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique》（分析教程）：1821 年；其未区分连续与一致连续的问题见后世史家评述
• 魏尔斯特拉斯 ε-δ 极限定义：1861 年；ε 与 δ 两个符号 1823 年已由柯西引入，但柯西未给出 δ 关于 ε 的函数关系