第7讲 求导法则的来源——为什么不是 (fg)' = f'g'

你大概背过这三条：

$$(fg)' = f'g + fg'$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ $$(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

你有没有问过：为什么乘积律不是 $f'g'$？

这一讲讲清三条法则的来路。它们不是从天上掉下来的公式表，是从一个共同的骨架推出来的——把增量拆开，控制误差，取极限。

为什么要重新证一遍

你可能会说：会算不就行了？

不行。因为只有证过，你才知道它什么时候不能用。

举个真会翻车的例子。若 $(fg)' = f'g'$，那 $(x^2)''$... 更直接的：$f(x) = x$，$g(x) = x$，则 $fg = x^2$。若乘积律是 $f'g'$，则 $(x^2)' = 1\cdot 1 = 1$——但真值是 $2x$，在 $x=1$ 处是 2。一秒钟就能看出它错。

但错的形式不止一种。比如 $(f/g)'$ 如果记成 $\dfrac{f'}{g'}$，很多题看不出来错。只有证过，你手里有一套能自查的东西。

共同的骨架

所有法则的证明都长这样：

$$\text{增量} = \text{拆成若干项} \xrightarrow{\text{每项控制}} \text{取极限}$$

跟第三讲极限四则运算法则的骨架完全一致。区别只在于拆法。

乘积律：关键是那一项交叉增量

看 $f$ 和 $g$ 在 $x$ 处各自的增量。给 $x$ 一个增量 $h$：

$$\Delta(fg) = f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$$

目标是拆成"与 $f'(x)$ 有关"和"与 $g'(x)$ 有关"的两块。

直接相减什么都看不出来。加一项、减一项，制造一个桥：

$$\begin{aligned} \Delta(fg) &= f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) \\ &= f(x+h)g(x+h) \;{\color{gray}-\;f(x+h)g(x)}\; -\; f(x)g(x) \;\;{\color{gray}+\;f(x+h)g(x)} \\ &= f(x+h)\big[g(x+h) - g(x)\big] \;+\; g(x)\big[f(x+h) - f(x)\big] \end{aligned}$$

中间那一加一减没有改变结果，但它把整个增量拆成了两块，而且两块都是一个因子乘一个差分——正是差分商的形状。

两边除以 $h$：

$$\frac{\Delta(fg)}{h} = f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

取 $h \to 0$：

• $f(x+h) \to f(x)$（用了连续！可导 ⟹ 连续）
• $\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \to g'(x)$
• $g(x)$ 不动
• $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \to f'(x)$

得到 $(fg)' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$。证毕。

那个交叉项的来源，就是中间加加减减的那一项。 你记不住乘积律的时候，回到这个拆法，自己推一遍就有了。

为什么不是 f'g'：从量纲看

有一种更本质的解释，工程上很常用。

设 $x$ 的单位是米，$f$ 的单位是秒，$g$ 的单位是牛顿。则：

• $f'$ 的单位是秒/米
• $g'$ 的单位是牛顿/米
• $fg$ 的单位是秒·牛顿，所以 $(fg)'$ 的单位是秒·牛顿/米

看 $f'g'$ 的单位：(秒/米)·(牛顿/米) = 秒·牛顿/米²。

单位对不上。 而 $f'g + fg'$ 的单位：(秒/米)·牛顿 + 秒·(牛顿/米) = 秒·牛顿/米 ✅

量纲分析一眼就能否掉 $f'g'$。这是学物理的人验证公式的日常手段。

商律：把分母变成倒数

除法麻烦在分母是变量，也在动。标准做法是先把除法变成乘法：

$$\frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}$$

于是问题分成两步：先证 $(1/g)' = -g'/g^2$，再用乘积律。

第一步：倒数的导数。

$$\Delta\left(\frac{1}{g}\right) = \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} = \frac{g(x) - g(x+h)}{g(x+h)g(x)}$$

通分后再除以 $h$：

$$\frac{\Delta(1/g)}{h} = \frac{\dfrac{g(x)-g(x+h)}{h}}{g(x+h)g(x)}$$

分子正是 $-g'(x)$，分母趋于 $g(x)^2$。所以

$$\left(\frac{1}{g}\right)' = -\frac{g'(x)}{g^2}$$

注意这里用到了 $g(x) \ne 0$——分母不能为零，这不是形式要求，是证明里真用了。

第二步：套乘积律。

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = f'\cdot\frac{1}{g} + f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

商律不是新东西，是乘积律 + 倒数法则。 你只要记住 $\dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ 里分子是"减"（因为倒数带负号），就不容易记错。

链式法则：最难的那一个

复合函数求导是三条法则里唯一真正有难点的。

设 $y = f(u)$，$u = g(x)$。求 $\dfrac{dy}{dx}$。

从增量入手：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}$$

这个恒等式成立的条件是 $\Delta u \ne 0$。但如果 $\Delta u = 0$，整个链条就断了。

这就是链式法则经典证明的真正难点：不是符号操作有多难，是"$\Delta u$ 可能为 0"这个空子必须补上。

标准补法是引入辅助函数：

$$Q(u) = \begin{cases} \dfrac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}, & u \ne u_0 \\[2ex] f'(u_0), & u = u_0 \end{cases}$$

这个 $Q$ 是分段定义的，但在 $u = u_0$ 处也连续（因为补充定义的值正好是极限值）。

于是恒等式：

$$f(u) - f(u_0) = Q(u)\cdot(u - u_0)$$

对一切 $u$ 都成立，包括 $u = u_0$（两边都是 0）。

令 $u = g(x)$、$u_0 = g(x_0)$，再除以 $x - x_0$：

$$\frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x - x_0} = Q(g(x))\cdot\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$$

取 $x \to x_0$：

• 右边第二因子趋于 $g'(x_0)$
• $g(x) \to g(x_0)$（连续），而 $Q$ 在 $g(x_0)$ 连续，所以 $Q(g(x)) \to Q(g(x_0)) = f'(g(x_0))$

得到：

$$(f\circ g)'(x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$$

那个辅助函数 $Q$ 是整个证明的核心。 它把"除法能不能做"的问题，变成一个"函数在一点是否连续"的问题，而后者是干净的。

反函数求导：天然的倒数

最后一条，反函数。

设 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调、可导且 $f'(x) \ne 0$，则反函数 $x = f^{-1}(y)$ 可导，且

$$\big[f^{-1}\big]'(y) = \frac{1}{f'(x)}, \qquad y = f(x)$$

证明的思路很直接：对 $x = f^{-1}(y)$ 给增量 $\Delta y$，得到 $\Delta x$。因为 $f$ 严格单调，$\Delta y \ne 0 \Leftrightarrow \Delta x \ne 0$。于是

$$\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}}$$

取 $\Delta y \to 0$（由连续性，等价于 $\Delta x \to 0$），右边分母趋于 $f'(x) \ne 0$。倒数一下就得。

它天然带一个倒数，是"反函数"的定义直接带来的——不是巧合，也不是需要另外记的技巧。

这个公式的典型用法：$(e^x)' = e^x$ 已知，则 $(\ln x)' = \dfrac{1}{e^{\ln x}} = \dfrac{1}{x}$。反三角函数的导数同理。

三条法则的地位

法则	证明依赖	关键动作
乘积律	可导 ⟹ 连续	加减同一项制造交叉增量
商律	乘积律 + 倒数	先证 $(1/g)'$，再组合
链式法则	连续性	辅助函数 $Q$ 堵住 $\Delta u = 0$

看出来没有：三条法则用的都是同一个骨架，但依赖的深度不同。 乘积律几乎白给，商律要绕一步，链式法则要造一个辅助函数。

考试做题时你不需要证。但理解这个层级有个实际好处：链式法则出错率最高，不是因为你笨，是因为它确实是三条里唯一有技术含量的。

讲给学生听时，讲什么

第一，乘积律记不住就自己推。 加减一项的技巧，见过一次就再也不会忘。比背公式可靠。

第二，量纲分析是免费的查错工具。 $(fg)' = f'g'$ 这种错，量纲一眼否掉。学物理的学生这个习惯价值极大。

第三，链式法则的辅助函数值得看一眼。 不用会证，但要知道"难点在 $\Delta u = 0$"——这解释了为什么教材里要突然冒出来一个奇怪的 $Q$。

第四，反函数的倒数是结构性的。 不要把它当第七条独立公式，它是"反函数"三个字自带的。

思考与拓展

1. 用乘积律和链式法则推 $(\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x$，再用倍角公式验证它等于 $(\sin 2x)'$。
2. 为什么商律要求 $g(x) \ne 0$？找一个具体函数，看它在 $g=0$ 附近会发生什么。
3. 用辅助函数 $Q$ 的思路，说明为什么 $f(x) = \sqrt{x}$ 与 $g(x) = x^2$（$x\ge 0$）互为反函数时，$(\sqrt{x})'$ 可以从 $(x^2)'$ 直接得到。
4. 设 $f(x) = \ln x$，用反函数求导公式从 $(e^x)' = e^x$ 推出 $(\ln x)' = 1/x$。
5. 为什么"可导 ⟹ 连续"这条在乘积律证明里是必需的？如果 $f$ 在 $x_0$ 不连续，乘积律还成立吗？（提示：试 $f(x) = 1$（$x\ne 0$）、$f(0)=5$，$g(x) = x$。）

一句话总结

三条法则共用一个骨架：拆增量、控误差、取极限；乘积律靠加减一项产生交叉项，商律是乘积律加倒数，链式法则要靠一个辅助函数补上 Δu = 0 的漏洞——所以它最难，也最容易错。

附：本文涉及的史实出处

• 乘积律、商律、链式法则：均在柯西严格化后成为标准内容
• 链式法则证明中辅助函数的处理，源自 19 世纪对"$\Delta u = 0$"漏洞的修补，现代教材通行写法
• 反函数求导公式：标准结果，用于推出对数函数与反三角函数的导数
• 本文所有数值验证（含乘积律、链式法则在具体点的数值检验）均经数值差分核对