圆锥曲线

题目

已知对任意 $x \in [1, +\infty)$，都有 $a\mathrm{e}^{ax} - \ln x \geqslant 0$（$a \in \mathbb{R}$），则 $a$ 的取值范围为

A. $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}}, +\infty\right)$

B. $\left[1, +\infty\right)$

C. $\left[2, +\infty\right)$

D. $\left[\mathrm{e}, +\infty\right)$

15. 在平面内，$O$ 为坐标原点，抛物线 $y^2=2x$ 上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个点，$A$、$B$、$C$、$D$ 的纵坐标分别为 $y_A$、$y_B$、$y_C$、$y_D$，直线 $AB$ 与直线 $CD$ 交 $x$ 轴于点 $P$，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $M$，直线 $BD$ 交 $x$ 轴于点 $N$，以下说法正确的有______。

①若 $P$ 与抛物线焦点重合，则 $y_Ay_B=-2$；

②$y_Ay_B=y_Cy_D$；

③$|OM|\cdot|ON|=2|OP|^2$；

④$|y_A-y_C|\cdot|OP|=|y_B-y

9. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左焦点为 $F$，$A$ 是右顶点，$P$ 是双曲线上一点，满足 $|FA|=|FP|$，$\angle FAP=30°$，则双曲线离心率为（ ）

A. $4$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{8}{5}$

D. $\frac{4}{3}$

19. 已知椭圆 $E$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点是 $(2,0)$，离心率为 $\frac{1}{2}$。

（1）求 $E$ 的方程；

（2）过点 $A(1,1)$，斜率为 $k$（$k\neq\pm 1$）的直线交椭圆 $E$ 于 $B$、$C$ 两点，$B$ 关于 $y=x$ 的对称点为 $D$，$DC$ 交 $y=x$ 于 $Q$，若 $\left|S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ}\right|=\frac{5}{8}$，求 $k$。

20. 已知双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$，点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，$F_1$，$F_2$ 分别为双曲线的左、右焦点。

（1）求点 $(2,0)$ 到双曲线渐近线的距离；

（2）若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=1$，求 $S_{\triangle PF_1F_2}$；

（3）记 $\Omega$ 为双曲线 $\Gamma$ 满足 $\begin{cases}x>0 \\ y\geq-1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x<0 \ y\leq-1\end{cases

12. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=5$，$BC=\sqrt{14}$。已知点 $A$，$B$，$C$ 分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率 $\underline{\qquad}$。

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\frac{1}{2}$。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$、$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$。

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程；

(ii) 求 $\tan\angle PQR$ 的最小值。

已知圆 $C_1:(x+1)^2+y^2=1$，圆 $C_2:(x-1)^2+y^2=1$，圆 $C_3:x^2+(y-\sqrt{3})^2=1$，直线 $l:y=kx+b$ 与 $C_1$，$C_2$，$C_3$ 均有两个交点，记 $l$ 被 $C_1$，$C_2$，$C_3$ 截得的弦长分别为 $s_1$、$s_2$、$s_3$，则

A. $k$ 可以取任意实数

B. 满足 $s_1=s_2=s_3$ 的直线 $l$ 共有 $3$ 条

C. 满足 $s_1+s_2+s_3=3$ 的直线 $l$ 多于 $3$ 条

D. 当 $b=0$ 时，$s_1+s_2+s_3$ 的最大值为 $