圆锥曲线

双曲线 $C:x^2-y^2=m$（$m>0$），$P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$0<k<1$。过 $P_{n-1}$ 作斜率 $k$ 的直线与 $C$ 左支交于 $Q_{n-1}$，$P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，$P_n=(x_n,y_n)$。

(1) $k=\frac{1}{2}$ 时求 $x_2,y_2$；

(2) 证 $\{x_n-y_n\}$ 是公比 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；

(3) 证 $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 面积 $S_n=S_{n+1}$。

曲线 $C$ 过原点，横坐标 $>-2$，到点 $F(2,0)$ 的距离与到直线 $x=a$（$a<0$）的距离之积为 $4$。下列结论：

A. $a=-2$

B. 点 $(2\sqrt{2},0)$ 在 $C$ 上

C. 曲线 $C$ 在第一象限的纵坐标最大值为 $1$

以上正确结论的序号是（ ）

11. $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$. $F_1,F_2$ 左右焦点, $A_1,A_2$ 左右顶点. $F_1F_2$ 为直径的圆 与 $C$ 渐近线交 $M,N$, $\angle NA_1M=5\frac{\pi}{6}$.

A. $\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}$ B. $|MA_1|=2|MA_2|$ C. $e=\sqrt{13}$ D. $a=\sqrt{2}$ 则 $S_{NA_1MA_2}=8\sqrt{3}$

19. $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 焦点距离之和为4.

(1) 求 $E$ 的方程;

(2) $O$ 为原点, $M(x_0,y_0)(x_0\neq0)$ 在 $E$ 上, 直线 $x_0x+2y_0y-4=0$ 与 $y=2$ 交于 $A$, 与 $y=-2$ 交于 $B$. 记 $S_1,S_2$ 分别为 $\triangle OAM$ 和 $\triangle OBM$ 的面积. 比较 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 与 $\dfrac{|OA|}{|OB|}$ 的

20. $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1(a>\sqrt{5})$, $M(0,m)(m>0)$, $A$ 为 $\Gamma$ 右顶点.

(1) 若 $\Gamma$ 的右焦点为 $(2,0)$, 求离心率 $e$;

(2) $a=4$, $\Gamma$ 上存在 $P$ $\text{s.t.}$ $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}$, 求 $m$;

(3) $AM$ 中垂线 $l$ 斜率为2, $l$ 与 $\Gamma$ 交于 $C,D$, $\angle CMD$ 为钝角, 求 $a$

15. $A(0,1),B(1,2)$, $C$ 在 $\Gamma:x^2-y^2=1(x\geq1,y\geq0)$ 上, $\triangle ABC$ 的面积 ( )

A. 有最大值，但没有最小值

B. 没有最大值，但有最小值

C. 既有最大值，也有最小值

D. 既没有最大值，也没有最小值

18. 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左焦点为 $F$, 右顶点为 $A$, $P$ 为 $x=a$ 上一点, 且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$, $△ PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$, 离心率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$ (异于点 $A$), 求证: $PF$ 平分 $∠ AFB$.

9. 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0$, $b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1$, $F_2$, 以右焦点 $F_2$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 与双曲线交于第一象限的点 $P$, 若 $|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|$, 则双曲线的离心率 $e=$ ( )

A. $2$

B. $5$

C. $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

18. 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, 下顶点为 $A$, 右顶点为 $B$, $|AB|=\sqrt{10}$.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上, 点 $R$ 在射线 $AP$ 上, 且满足 $|AP|\cdot|AR|=3$.

(i) 设 $P(m,n)$, 求 $R$ 的坐标 (用 $m$, $n$ 表示);

(ii) 设 $O$ 为坐标原点, $Q$ 是 $C$ 上的动点, 直线 $OR$ 的斜率为直线

7. 已知圆 $x^2+(y+2)^2=r^2$ ($r>0$) 上到直线 $y=\sqrt{3}x+2$ 的距离为 $1$ 的点有且仅有2个, 则 $r$ 的取值范围是 ( )

A. $(0,1)$

B. $(1,3)$

C. $(3,+\infty)$

D. $(0,+\infty)$

18. 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$）, 过 $E$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 截得的线段长为 $\sqrt{2}$。

(1) 求 $E$ 的离心率;

(2) 设 $O$ 为坐标原点, 给定点 $G(t,0)$ ($t eq 0$), $A(x_0,y_0)$ ($y_0 eq 0$) 为 $E$ 上的点, 过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线, 垂足为 $B$, 直线 $AO$ 与直线 $GB$ 的交点为 $P$。当 $A$ 在 $E$ 上运动时, 点 $P$ 的轨迹为 $M$。

(i) 求 $M$ 的方程;

(ii) 当

11. 已知抛物线 $E:y^2=8x$，斜率为 $k$（$k>0$）的直线 $l$ 经过点 $(-1,0)$，等边三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 在 $E$ 上，顶点 $B$、$C$ 均在 $l$ 上，下列结论正确的有（ ）

A. $E$ 的准线方程为 $x=-2$

B. 若 $l$ 与 $E$ 没有公共点，则 $k>\sqrt{2}$

C. 若 $l$ 与 $E$ 的唯一公共点为 $B$，则 $E$ 的焦点在直线 $AB$ 上

D. 若 $k=2$，则 $\triangle ABC$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{15}$

题目

已知对任意 $x \in [1, +\infty)$，都有 $a\mathrm{e}^{ax} - \ln x \geqslant 0$（$a \in \mathbb{R}$），则 $a$ 的取值范围为

A. $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}}, +\infty\right)$

B. $\left[1, +\infty\right)$

C. $\left[2, +\infty\right)$

D. $\left[\mathrm{e}, +\infty\right)$

15. 在平面内，$O$ 为坐标原点，抛物线 $y^2=2x$ 上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个点，$A$、$B$、$C$、$D$ 的纵坐标分别为 $y_A$、$y_B$、$y_C$、$y_D$，直线 $AB$ 与直线 $CD$ 交 $x$ 轴于点 $P$，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $M$，直线 $BD$ 交 $x$ 轴于点 $N$，以下说法正确的有______。

①若 $P$ 与抛物线焦点重合，则 $y_Ay_B=-2$；

②$y_Ay_B=y_Cy_D$；

③$|OM|\cdot|ON|=2|OP|^2$；

④$|y_A-y_C|\cdot|OP|=|y_B-y

9. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左焦点为 $F$，$A$ 是右顶点，$P$ 是双曲线上一点，满足 $|FA|=|FP|$，$\angle FAP=30°$，则双曲线离心率为（ ）

A. $4$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{8}{5}$

D. $\frac{4}{3}$

19. 已知椭圆 $E$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点是 $(2,0)$，离心率为 $\frac{1}{2}$。

（1）求 $E$ 的方程；

（2）过点 $A(1,1)$，斜率为 $k$（$k\neq\pm 1$）的直线交椭圆 $E$ 于 $B$、$C$ 两点，$B$ 关于 $y=x$ 的对称点为 $D$，$DC$ 交 $y=x$ 于 $Q$，若 $\left|S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ}\right|=\frac{5}{8}$，求 $k$。

20. 已知双曲线 $\Gamma: x^2-y^2=1$，点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，$F_1$，$F_2$ 分别为双曲线的左、右焦点。

（1）求点 $(2,0)$ 到双曲线渐近线的距离；

（2）若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=1$，求 $S_{\triangle PF_1F_2}$；

（3）记 $\Omega$ 为双曲线 $\Gamma$ 满足 $\begin{cases}x>0 \\ y\geq-1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x<0 \ y\leq-1\end{cases

12. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=5$，$BC=\sqrt{14}$。已知点 $A$，$B$，$C$ 分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率 $\underline{\qquad}$。

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\frac{1}{2}$。

（1）求 $C$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$、$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$。

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程；

(ii) 求 $\tan\angle PQR$ 的最小值。

已知圆 $C_1:(x+1)^2+y^2=1$，圆 $C_2:(x-1)^2+y^2=1$，圆 $C_3:x^2+(y-\sqrt{3})^2=1$，直线 $l:y=kx+b$ 与 $C_1$，$C_2$，$C_3$ 均有两个交点，记 $l$ 被 $C_1$，$C_2$，$C_3$ 截得的弦长分别为 $s_1$、$s_2$、$s_3$，则

A. $k$ 可以取任意实数

B. 满足 $s_1=s_2=s_3$ 的直线 $l$ 共有 $3$ 条

C. 满足 $s_1+s_2+s_3=3$ 的直线 $l$ 多于 $3$ 条

D. 当 $b=0$ 时，$s_1+s_2+s_3$ 的最大值为 $